Aritmética para concursos em geral, Resumos de Matemática Elementar

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1. SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL OU SISTEMA DE BASE 10

Os algarismos do sistema decimal são:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 algarismos significativos não é algarismo significativo

Exemplos: menor número de quatro algarismos = 1000 menor número de quatro algarismos diferentes = 1023 menor número de quatro algarismos significativos = 1111 menor número de quatro algarismos significativos diferentes = 1234 maior número de quatro algarismos = 9999 maior número de quatro algarismos diferentes = 9876 Exercícios: Qual o menor número de três algarismos? Qual o menor número de três algarismos diferentes? Qual o menor número de três algarismos significativos? Qual o menor número de três algarismos significativos diferentes? A diferença entre o menor número de 4 algarismos significativos e o maior número de 3 algarismos significativos diferentes, vale ________. A diferença entre o maior número de 4 algarismos diferentes e o menor número de 3 algarismos é _______. A soma do maior de 3 algarismos com o menor número de 2 algarismos significativos diferentes, é ______. A diferença entre o menor número de 4 algarismos significativos diferentes e o menor número de 3 algarismos significativos diferentes, é ______. A diferença entre o menor número de 5 algarismos diferentes e o maior número de 4 algarismos, é_______. O produto do menor número de 3 algarismos diferentes pelo menor número de 2 algarismos signifi- cativos, é _______. Respostas:

1. 100
2. 102
3. 111

Obs.: 1 - Nos sistemas de numeração os números são formados de grupos de unidades que denomi- namos ORDENS. Um grupo de três ordens forma uma CLASSE.

I V X L C D M

Podemos obter expressões de todos os outros números, observando as cinco regras seguintes: 1ª) As letras I , X , C e M, podem ser repetidas até três vezes. Ex.: I = 1 II = 2 III = 3 X = 10

XX = 20

XXX = 30

C = 100

CC = 200

CCC = 300

M = 1000

MM = 2000

MMM = 3000

2ª) Se a letra de valor menor estiver depois de outra de valor maior, somamos ambas. Ex.: XI = 11 CX = 110 DL= 550 3ª) Se uma letra de valor menor estiver antes de outra de valor maior, subtraímos o valor da letra menor da maior. Ex.: IV = 4 XL = 40 CM = 900 Obs.: Os símbolos V, L e D nunca são escritos à esquerda de outros de maior valor. Não se usa colocar o símbolo I à esquerda dos símbolos L, C, D e M, nem o símbolo X à esquerda dos símbolos D e M. 4ª) Se uma letra de valor menor estiver entre duas (letras) de valor maior, será subtraída da que lhe fica adiante, sem sofrer alteração a que lhe fica atrás. Ex.: XIX = 19 DXL = 540 MCM = 1900 5ª) Cada risco horizontal sobre uma ou mais letras eleva o seu valor mil vezes.

Ex.: X = 10.000 CL = 150.000 M = 1.000.

Exercícios:

1. Escreva em numerais romanos os números: 707 1822 1889

Quantas classes e ordens tem o número, que representado por numeral romano é XII CCCLIV?

O valor absoluto do algarismo das centenas do número MCDXCII quando escrito em numerais in- do - arábicos é _______. Escreva em numerais indo - arábicos os números romanos:

a) CDLIII CXXI

b) VI c) DCXXVII

Respostas:

1. a) DCCVII b) MDCCCXXII

c) MDCCCLXXXIX D) MCMLIX e) MCMLXXIV

f) MMMCDXXVIII

g) XII DVII

2. 2 classes e 5 ordens

4. a) 453.121 b) 6.000.000 c) 627

3. OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS 1ª) ADIÇÃO - Termos da adição Æ parcelas - Resultado Æ soma ou total 5 + 7 = 12 soma ou total

1ª parcela 2ª parcela PROPRIEDADES: Comutativa

• A ordem das parcelas não altera a soma Ex.: 2+9 = 9+ Associativa
• Podemos substituir duas ou mais parcelas pela sua soma efetuada. Ex.: 2+5+8 = 7+8 = 2 + 13 (2+5) (5+8) c) Dissociativa
• Podemos substituir uma parcela por duas ou mais parcelas, desde que a soma dessas parcelas seja igual a parcela primitiva. Ex.: 10 + 3 = 8 + 2 + 3 = 10 + 1 + 2 10 3 Elemento Neutro ZERO

Ex.: 5+0 = 5 2ª) SUBTRAÇÃO

• É a operação inversa da adição.
• Termos da subtração Æ minuendo e subtraendo.
• Resultados Æ resto ou diferença. 12 - 5 = 7 resto ou diferença

minuendo subtraendo

Obs.: R + S = M M =

M + S + R M = minuendo

S = subtraendo

D - Dividendo d - divisor

Q - Quociente R - Resto

Relação fundamental: D = d x Q + R

Obs.: 1) R = O Divisão exata

2. Maior resto possível = divisor - 1 Exercícios Numa adição de três parcelas, se aumentarmos a 1ª de 5 unidades, a 2ª de 3 dezenas e a 3ª de 4 cen- tenas, de quantas unidades ficará aumentada a soma? Numa subtração, a soma do minuendo, subtraendo e resto é 834. Calcular o minuendo. Em uma subtração, a soma do minuendo, subtraendo e resto é 520. Sendo o subtraendo 120, calcular o resto. Em uma subtração, a soma do minuendo, subtraendo e resto é 540. O resto é a terça parte do minu- endo. Calcular o subtraendo. Que acontece ao resto de uma subtração quando: adicionamos 15 unidades ao minuendo? subtraímos 10 unidades do subtraendo? subtraímos 20 unidades do minuendo? adicionamos 8 unidades ao subtraendo? Numa divisão, o quociente é 8. O divisor é o dobro do quociente e o resto é o maior possível. Calcu- lar o dividendo. Numa divisão, o divisor é 36, o quociente é a quarta parte do divisor e o resto é o maior possível. Cal- cular o dividendo. Numa divisão, o quociente é 15 e o resto, 9. Qual o menor valor que pode ter o dividendo? Numa subtração o subtraendo é 22 e o resto, 24. Qual é o minuendo? A soma de dois números consecutivos é 841. Quais são os números? A diferença entre dois números é 122 e o maior é 396. Qual é o menor? Um senhora teve seu primeiro filho aos 21 anos. Quando este filho tinha 14 anos, nasceu seu irmão. Quantos anos tinha a senhora quando seu filho caçula fez 10 anos? Um pai é 32 anos mais velho que sua filha e a soma das duas idades é 46 anos. Qual a idade dos dois? Duas pessoas têm juntas R$ 800,00. Uma têm R$ 120,00 mais do que a outra. Quanto tem cada uma? Trabalhei 6 dias numa obra, e recebi R$ 108,00. Quanto vou receber se trabalhar 30 dias? Numa divisão em que o divisor é o maior número de três algarismos, o resto é no máximo ______. O divisor sendo 47, o quociente 26 e o dividendo 1263, o resto será ________. Multiplica-se certo número por 7 e adiciona-se 4 ao produto. Divide-se depois esse resultado por 15, encontrando-se o quociente 11. Qual é o número? Quantos algarismos devemos escrever para numerar um livro de 280 páginas? Respostas:

5. a) aumenta 15 b) aumento 10 c) diminui 20 d) diminui 8

6. 143

7. 359

8. 159 46

9. 420 e 421

10. 274

11. 45

12. 39 e 7

13. 340 e 460

14. 540

15. 998

16. 41

17. 23

18. 732 DIVISIBILIDADE 1- Múltiplos:

• Múltiplos de um número é o produto desse número por um número inteiro qualquer. Ex.: a) Múltiplos de 4

4 x 0 = 0 4 x 1 = 4 4 x 2 = 8 4 x 3 = 12

M(4) = { 0 4 8 12, , , ...}

b) Múltiplos de 7

7x 0 = 0 7x 1 = 7 7x 2 = 14 7x 3 = 21

M(7) = { 0 7 14 21, , , ...}

Obs.: 1) O zero é múltiplo de todos os números. Todo número é múltiplo dele mesmo.

Exercícios Enumere os três maiores múltiplos de 14, compreendidos entre 281 e 346. Calcule o menor número que se deve adicionar a 342 para se obter um múltiplo de 17. Respostas:

b) Se tiver mais de três algarismos, quando a diferença da soma das classes de ordem ímpar e par for um número divisível por 7. Ex.: a) 415422 422 - 415 = 7

a) 70.201.733.658 ( 658 + 201) - ( 733 + 70) =

7 o^ ) Um número é divisível por 8,quando os três últimos algarismos da direita formam um número múlti- plo de 8. Ex.: 93888 888 = 111 x 8

8 o^ ) Um número é divisível por 9, quando a soma dos seus algarismos for um número múltiplo de 9. Ex.: a) 2457 Æ 2+4+5+7 = 18 = 2 x 9 a) 981621 Æ 9+8+1+6+2+1 = 27 = 3 x 9 9 o^ ) Um número é divisível por 10, quando terminar em ZERO. Ex.: 210,74800, ... 10 o^ ) Um número é divisível por 11, quando a diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par, for um número múltiplo de 11. Ex.: a) 110 S 1 = 0 + 1 = 1 1 - 1

S (^) p = 1

b) 2497 S 1 = 7 + 4 = 11 11 - 11

S (^) p = 9 + 2 = 11

c) 372867 S 1 = 7 + 8 + 7 = 22 22 - 11 = 11

S (^) p = 6 + 2 + 3 = 11

Obs. : Quando a soma dos algarismos de ordem ímpar é menor que a dos algarismos de ordem par, deve - se somar um múltiplo de 11 a primeira soma. Ex.: 518760 Æ S 1 = 0 + 7 + 1 = 8 8 + 11 = 19

S (^) p = 6 + 8 + 5 = 19 11 o^ ) Se um número é divisível por mais de um número primo, também o será pelo produto destes.

Ex.: 60 é divisível por 2,3 e 5 também o será por:

2 x 3 x 5 = 30

4. Restos da divisão de um número por: 1º ) 2 e 5 , é o da divisão do algarismo das unidades por 2 ou por 5. Ex.: a) 3277 Æ 7 : 2 Æ resto 1

5. 3277 Æ 7 : 5 Æ resto 2 a) 1323 Æ 3 :2 Æ resto 1 b) 1323 Æ 3: 5 Æ resto 3 2 o^ ) 3 e 9 , é o da divisão da soma dos valores dos seus algarismos por 9. Ex.: a) 5297 Æ 5+2+9+7= 23 : 3 Æ resto 2 23 : 9 Æ resto 5 3 o^ ) 4 , é o da divisão dos dois últimos algarismos da direita por 4. Ex.: 615 15 : 4 resto 3

4 o^ ) 10 , é o algarismo das unidades. Ex.: 1315 resto 5

5 o^ ) 11,é o da divisão da diferença entre a soma dos algarismos de ordem ímpar e a soma dos algarismos de ordem par, por 11. Ex.: 564719 Æ S (^) i = 9+7+6 = 22 S (^) P = 1+4+5 = 10 22 - 10 = 12 12 : 11 Æ resto 1 Exercícios

6. Qual dos números abaixo é divisível por 11? a ) 11111 b) 90900 c) 81719 d) 45720 a) Assinale o número abaixo que é divisível, ao mesmo tempo, por 3, 4 e 11. b) 8016 b) 5246 c) 12570 d) 1980 3 ) O valor de A no número 385A para que seja divisível, ao mesmo tempo, por 2 e por 9, é.
7. 0 b) 4 c) 6 d) 2 e) 8 a) Para que o número 7A52B seja divisível, ao mesmo tempo, por 3 e por 10, os valores de A e B são , respectivamente: a) 0 e 1 b) 2 e 4 c) 4 e 2 d) 1 e 5 e) 1 e 0
8. A diferença entre o maior número e o menor número que podemos formar com os algarismos 3, 4, 5 e 6, que sejam divisíveis por 11, vale:
9. 2913 b) 3069 c) 4103 d) 9009
10. Qual das afirmações abaixo é verdadeira?

063 22 Como quociente é menor que o divisor e a divisão não é exata, 523 é 17 primo. Exercícios

1. Verificar se o n.º 437 é primo.
2. Verificar se o n.º 691 é primo. Números primos entre si São aqueles que admitem como único divisor comum a unidade. Ex.: a) 5 e 13 D (5) = {1,5} D (13) = {1, 13}

b) 3 e 14 D (3) = {1,3} D (14) = {1, 2, 7, 14}

c) 15 e 8 D (15) = {1, 3, 5, 15} D (8) = {1, 2, 4, 8}

DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM UM PRODUTO DE FATORES PRIMOS Dividimos o número dado por números primos, na ordem crescente, até encontrarmos quociente 1. Ex.: Decompor o n.º 180 em um produto e fatores primos. 180 2 90 2 45 3 180 = 2 2 x 3 2 x 5 15 3 5 5 1 Exercício _ Decompor em um produto de fatores primos, os números abaixo: a) 600 b) 484 c) 1058 Respostas:

1. Não é primo 2) É primo a) 2 3 x 3 x 5 2 b) 2 2 x (11)^2 c) 2 x (23)^2 Divisibilidade de números mediante seus fatores primos Decompondo-se dois números em seus fatores primos, o primeiro é divisível pelo segundo, se contiver pelo menos, os fatores primos do segundo com expoentes iguais ou maiores. Ex.: a) 500 é múltiplo de 20, pois 500 = 2 2 x 5 3 e 20 = 2 2 x 5
2. 360 não é múltiplo de 32, pois 360 = 2 3 x 3 2 x 5 e 32 = 2 5
3. 48 é divisor de 3600, pois 48 = 2 4 x 3 e 3600 = 2 4 x 3 2 x 5 2
4. 56 não é divisor de 720, pois 56 = 2 3 x 7 e 720 = 2 4 x 3 2 x 5

Exercícios

1. Determinar qual é o menor número pelo qual se deve multiplicar 1512 para se obter um múltiplo de 360?
2. Determinar o menor número pelo qual devo dividir 300 para que se torne divisor de 1000?
3. Determinar o menor número pelo qual devo multiplicar 48 para que se torne múltiplo de 300? Respostas:
4. 5 2) 3 3) 25

6. Números de divisores de um número 1º) Decompomos o n.º em um produto de fatores primos. 2º) Somamos 1 a cada expoente dos fatores primos e multiplicamos os resultados. Ex.:

1. Quantos são os divisores do nº 120?

120 2 60 2 120 = 2 3 x 3 x 5 30 2 (3+1) x (1+1) x (1+1) = 4 x 2 x 2 = 16 divisores 15 3 5 5 1

2. Quantos são os divisores do n.º 2^2 x 3 x 5 3 x 7? (2+1) x (1+1) x (3+1) x (1+1) = 3 x 2 x 4 x 2 = 48 divisores
3. O número 2 x^ x 5 3 admite 12 divisores. Calcular o valor de x. (X + 1) x (3 + 1) = 12 (X + 1) x 4 = 12

X + 1 =

X + 1 = 3

X = 3 - 1

X = 2

4. O número N = 3 x^ x 5 2 admite 9 divisores. Calcular N. (X + 1) x (2+1) = 9 (X + 1) x 3 = 9

X + 1 = 39

X + 1 = 3

X = 3 - 1

X = 2

Substituindo N = 3 x^ x 5 2 = 3 2 x 5 2 = 9 x 25 = 225 Exercícios

1. Quantos são os divisores do número 360?
2. Quantos são os divisores do número 2 2 x 3 4 x 5 3 x 7?
3. O número 2 4 x 3 2 x 5 x^ admite 30 divisores. O valor de x é __________.
4. O número N = 2 3 x 3 x^ x 5 admite 24 divisores. O valor de N é ______. Respostas:
5. 24 2) 120 3) 1

90 = 2 x 3 2 x 5 120 = 2 3 x 3 x 5 MDC = 2 x 3 x 5 = 30 150 = 2 x 3 x 5 2

2. Achar o MDC entre os números 2 3 x 3 2 x 5 3 ; 2 5 x 3 4 x 5 2 x 7 e 2 4 x 3 3 x 5 x 11. m.d.c. = 2 3 x 3 2 x 5 = 8 x 9 x 5 = 360

2º processo: Divisões sucessivas. _ Dividimos o número maior pelo menor. Depois o número menor pelo resto achado e assim, sucessiva- mente, até encontrarmos resto ZERO. O último divisor será o M.D.C. Ex.:

1. Achar o mdc entre 108 e 60. Quociente

1 1 4 108 60 48 12 48 12 0

Resto Obs.: No caso de vários números, achamos o MDC dos dois menores. Depois achamos o MDC desse re- sultado com o terceiro número e assim, sucessivamente.

2. Achar o m.d.c. entre 90, 120 e 150.

1 3 120 90 30 30 0

5 150 30 0

Obs.: _ Quando um número é múltiplo de outro, o M.D.C. é o menor deles. _ O M.D.C. de números primos entre si é a unidade.

Exercícios

1. Achar o MDC entre 20, 36 e 88.
2. Sendo A = 2 4 x 3 x 5 3 ; B = 2 5 x 3 2 x 7 e C = 2 2 x 3 4 x 5 2 , o mdc entre A, B e C, vale ______.
3. Quantos são os divisores comuns dos números 48 e 60?

MDC = 12

O m.d.c. dos dois menores é 30.

Resp.: 30

4. Quais os dois menores números pelos quais devem ser divididos os números menores 144 e 162 para que os quocientes sejam iguais?
5. Quais são os divisores comuns dos números 54 e 90?
6. Calcular os três maiores divisores comuns dos números 72 e 96. Respostas:
7. 4
8. 12

4. 8 e 9

6. 24, 12 e 8

8. Mínimo múltiplo comum (M.M.C.) MMC de dois ou mais números é o menor número divisível por esses números. Vejamos como podemos calculá-lo: 1º Processo : Quando os números já estiveram decompostos. _ É igual ao produto dos fatores primos comuns e não comuns, elevados aos maiores expoentes. Ex.: Achar o MMC entre 2 2 x 3 x 5, 2 x 3 2 x 7 e 2 x 3 x 5. mmc = 2 2 x 3 2 x 5 x 7 = 1260 Exercícios

1. Achar o mmc entre 3 2 x 5, 2 x 3 x 7 e 2 2 x 3 2 x 5.
2. Achar o mmc entre 2 2 x 3 3 x 5, 2 3 x 3 x 7 e 2 x 3 2 x 5 2 x 11 2º processo : Quando os números não estiverem decompostos. _ Decompomos simultaneamente todos os números. Ex.: Achar o M.M.C. entre 30, 45 e 75.

30, 45, 75 2 15 45 75 3 5 15 25 3 m.m.c. = 2 x 3 2 x 5 2 = 450 5 5 25 5 1 1 5 5 1 1 1

Obs.: _ Quando um número é múltiplo de outro, o mmc é o maior deles. _ O mmc de números primos entre si, é o produto deles. Exercícios

1. Achar o mmc entre 60, 90 e 150.
2. Achar o mmc entre 2 x 3^2 x 5, e 2 3 x 3 x 5 2 x 7 e 3 x 5 x 11.
3. O menor número que dividido por 12, 20 e 36, deixa sempre resto 5, é_______.
4. Quais são os três menores múltiplos comuns de 48 e 75?
5. Uma pessoa possui mais de R$ 300,00 e menos de R$ 400,00. Contando sua quantia de R$ 8,00 em 8,00 de R$ 10,00 em R$ 10,00 ou de R$ 15,00 em R$ 15,00, verifica que sempre sobra R$ 4,00. Quanto possui? Respostas:

Divide-se este número pela base que se quer passar, em seguida o quociente desta divisão pela base no- vamente, e assim sucessivamente, até que o quociente seja menor que a base. Ex.: a) Passar o número 87 da base decimal para a base 5. 87 5 17 5 37 17 2 3 o número será 322 (^) (5) 2 b) Passar o número 13 da base decimal para a base 2. 13 2 6 2 3 2 1 6 0 3 1 1 o número será 1101 (^) (2)

Exercícios:

1. Transformar o número 39 da base 10 para base 5.
2. Transformar o número 83 da base 10 para a base 8.
3. Transformar o número 91 de base 10 para a base 4.

Transformação de um número de uma base qualquer para a base 10 Para transformar um número na base 10 utilizamos o seguinte polinômio: (y) 10 = ... a 1 B^3 + a 2 B^2 + a 3 B^1 + a 4 B^0 Ex.: a) O número 213 (^) (8) passa para (y) 10. Vamos usar o polinômio considerando B^0 até B^2 , pois são três alga- rismos. (y) 10 = a 1 B^2 + a 2 B^1 + a 3 B^0 a 1 = 2, a 2 = 1, a 3 = 3 e B = 8 (base) (Y) 10 = 2.8 2 + 1.8 1 + 3.8 0 (y) 10 = 128 + 8 + 3 (y) = 139 Logo: 139 (^) (10) = 213 (^) (8) b) O número 210 (^) (7) passa para (y) 10 Logo 210 três algarismos a 1 B^2 + a 2 B^1 + a 3 B^0 (Y) 10 = 2.7 2 + 1.7 1 + 0.7 0 (y) 10 = 98 + 7 + 0 = 105 Logo: 210 (^) (7) = 105 (^) (10) c) O número 210 (^) (7) passa para (x)5. Primeiro passamos para a base 10 conforme acima. Então (y) 10 = 105 agora pelas divisões sucessivas: 105 5 21 5 05 21 1 4 Logo: 410 (^) (5) = 105 (^) (10) como também 210 (^) (7) = 410 (^) (5) d) O número 213 (^) (8) passa para a base 2. Mas (y) 10 = 139 conforme exemplo anterior. Agora pelas divisões sucessivas: 139 2 6 9 2 34 217 2 8 2 4 2 2 2 1 69 1 34 0 17 1 8 0 4 0 2 0 1

Logo 10001011 (^) (2) = 213 (^) (8) e) o número 10001011 (^) (2) passa para a base 10. Veja o seguinte quadro: 2048 1024 512 256 128 64 32 16 8 4 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1

Observe que o número 10001011 está colocado da direita para a esquerda. Retire os valores que estão acima do algarismo 1 , ignorando aqueles acima do 0. Some-os: 1 + 2 + 8 + 128 = 139 Logo: 10001011 (^) (2) = 139 (^) (10) Obs.: Para qualquer número do sistema binário (base 2), usa-se o quadro acima para passar para base 10 (decimal). Exercícios

2. Passar o número 242(7) para a base 10 (decimal).
3. Passar o número 1011(3) para a base 10.
4. Passar o número 11101(2) para a base 10.
5. Passar o número 156(7) para a base 8.
6. Passar o número 11001(2) para a base 3.
7. Passar o número 203(5) para a base 2.

Respostas:

1. 124 (^) (5) 2) 123 (^) (8) 3) 1123 (^) (4)
2. 128 2) 31 3) 29 4) 132 (^) (8) 5) 221 (^) (3)
3. 110101 (^) (2) 10 Problemas de sucessão de números naturais Modelo: Quem escreve de 12 até 28, quantos algarismos escreve? Números escritos: 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27 e 28. Total: 17 números de dois algarismos, 17 x 2 = 34 algarismo. Técnica: (28 – 12) + 1 = 17 números Se ao todo são 17 números, cada um com dois algarismos, teremos, 17 x 2 = 34 algarismos. Modelo : Para escrever todos os números de 1 a 327, quantos algarismos serão necessários? _ Números de um algarismo de 1 a 9 (9 –1) + 1 = 9 números 9 x 1 = 9 algarismos _ Números de dois algarismos de 10 a 99 (99 – 10) + 1 – 90 números 90 x 2 = 180 algarimos _ Números de três algarismos de 100 a 327– ( 327 – 100) +1 = 228 números 228 x 3 = 684 algrismos _ Total de algarismos: 9 + 180 + 684 = 873 algarismos Modelo: Para numerar as páginas de um livro foram necessários 258 tipos. Quantas páginas tem o livro? _1 até 9 9 números 9 algarismos Algarismos restantes: 258 – 9 = 249 _ 10 até 99 90 números 90 x 2 = 180 algarismos Algarismos restantes: 249 – 180 = 69