Apostila de Circuitos Elétricos, Exercícios de Circuitos Elétricos

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F .F. EE .. SS .. PP ..

C I CIRR CC UU IITT OO SS

E L EL ÉÉ TT RR IICC OO SS II

- E - E CC 11 --

( E (E DD .. 22 0 01 1 44 ))

P R PR OO FF .. MM AA SS SS II MM OO AA RR GG EE NN TT OO

C I R C U I T O S E L É T R I C O S I

C APÍT ULO I - B IPOLOS E ASSOCI AÇÕES DE B IPOLOS LINE ARE S

1 ) - B IPOLOS:

DEF.: Defin im os Bipolo E létr ico como sendo qualquer disposit ivo elétrico que possua dois term inais acessíveis. Num Bipolo definem -se sem pre duas variáv eis: A tensão existente entre os seus term inais e a corrente que o atravessa. A tensão é m edida através de v oltím etros; a corrente é m edida atrav és de am perím etros. Tanto os voltím etros com o os amperím etros possuem os seus term inais discr im inados através do sinal (+) ou (-). O v oltím etro é feito de ta l form a que quando o seu term inal (+) fo r conectado ao term inal de m aior potencial de um bipolo, a sua indicação sej a posit iv a; de m aneira análoga, o amperímetro é feito de tal form a que quando no seu term inal (+) entrar uma corrente positiv a, a sua ind icação sej a positiv a.

1. 1 ) - B IPOLOS AT IVOS E P ASS IVOS:

Um bipolo será dito At iv o quando estiv er Fornecendo Energia num circuito; de maneira análoga, um bipolo será dito Passiv o quando estiv er Recebendo Energia num circuito. IMPORTANTE: Em bipolos ativos a tensão e a corrente possuem sentidos concordantes; em bipolos passiv os os sentidos são discordantes. Se por exem plo num determ inado instante t iv erm os num bipolo a tensão e a corrente com o abaixo ind icadas, concluirem os que:

1. 2 ) - CONVENÇÕES - BIPOLOS GER ADORES E RECEPT ORES :

Poderem os convencionar arbit rar iam ente um bipolo como gerador ou receptor. Note que convencionar é diferente de ser; ou sej a: Nada im pede que um bipolo convencionado com o gerador se com porte como receptor ou v ice-v ersa. Como regra geral poderemos dizer que se o produto v x i for posit iv o o bipolo realm ente está se comportando conforme a convenção adotada ; v ice-v ersa, se o produto v x i for negativ o, signif icará que o comportam ento do bipolo é o contrário do que foi adotado. Ressaltam os ainda que tensões e corre ntes são funções de um determinado instante:

OBS.: MALHA: Subconjunto de bipolos de um a rede, interligados entre si de m odo a

constitu irem um a traj etória fechada.

ASSOCIAÇÃO SÉRIE - PARALELO DE BIPOLOS:

DEFINIÇÕES PRELIMINARES (Válidas em qualquer circunstância num determ inado instante):

A ) - Associação Série: “N” bip olos estarão associados em série quando forem

percorridos pela m esm a corrente, ou ainda: quando a corrente que percorrer

qualquer um deles, tam bém percorrer todos os dem ais. A tensão total da associação

será obtida pela soma algébrica ordenada das tensões de cada bipolo da

associação.

B ) - Associação Paralelo: “N” b ipolos estarão associados em paralelo quando forem

submetidos à mesma tensão, ou ainda: quando estiverem conectados entre os

mesmos pontos. A corrente total da associação será obtida pela som a algébrica

das correntes de cada bipolo da associação.

ASSOCIAÇÃO GRÁFICA DE BIPOLOS:

A partir das definições acim a, podem ser executadas inclusive gráficam ente associações série - parale lo de bipolos quaisquer uma vez conhecidas as suas curvas caracterist icas. De fato considerando-se que associações em série possuem a m esma corrente, e que associações em paralelo possuem a mesma tensão, teremos por exem plo:

a)- B ipolo “A” e respectiv a b)- B ipolo “B” e respectiv a curv a caracteristica curv a característica

A curva caracterist ica do bipolo resultante da associação proposta poderá ser obtida da seguinte forma:

Para a obtenção da curva característica da associação em parale lo dos dois

bipolos, procedemos de m aneira análoga, i. é: Consideram os pontos de mesma

tensão e obtemos a corrente da associação através da soma das correntes dos

bipolos.

EXERC IC IOS D E APL IC AÇ ÃO

a ) SUPONDO CO NHEC ID AS AS CUR VAS C AR ACT ERIST IC AS

1º) Sendo fornecidas as curvas características dos bipolos “A” e “B” conform e

convenção indicada, pede-se determ inar:

a) A equação, e a curv a característica da associação pedida; b) A tensão na associação, supondo-se uma corrente i = 2A na m esma c) A Tensão em cada bipolo, supondo-se uma tensão de 8V na associação

SOLUÇÃO: Vamos in icia lm ente determ inar a equação característica de cada bipolo, lev ando em consideração as equações de reta ; terem os:

Bip. “A” : v (^) A = -2i (^) A + b ; quando i (^) A = 0 ⇒ v (^) A = 4 ⇒ b = 4 ⇒ v (^) A = -2 i (^) A + 4

Bip. “B” : v (^) B = i (^) B + b ; quando i (^) B = 0 ⇒ v (^) B = 3 ⇒ b = 3 ⇒ v (^) B = i (^) B + 3

A

Ii (^) A

Iv (^) A

1

2

Iv (^) A

3 Ii^ A Ii (^) B

B

Ii (^) B

Iv (^) B

4

3

Iv (^) B

1 2 -

1

2

3

4

-3 -

1

2

3

4

1 = 3

(^2 )

Iv

Ii

A B

E :

AS SOC IAÇ ÃO P ED ID A:

SOLUÇÃO: Novam ente, da mesma form a anterior,v am os determ inar a equação característica de cada bipolo, le vando em consideração as equações de reta ; teremos:

Bip. “A” : v (^) A = -2i (^) A + b ; quando i (^) A = 0 ⇒ v (^) A = 4 ⇒ b = 4 ⇒ v (^) A = -2 i (^) A + 4

Bip. “B” : v (^) B = i (^) B + b ; quando i (^) B = 0 ⇒ v (^) B = 3 ⇒ b = 3 ⇒ v (^) B = i (^) B + 3

Em seguida, vam os com parar à característica de cada bipolo com a associação que está sendo pedida; teremos:

Donde concluirem os que: 

A B

B A

i i i

e:

v v v

Sendo: v (^) A = -2 i (^) A + 4 ⇒ i (^) A = 2

4 − vA ; sendo v B =^ i^ B + 3^ ⇒^ i^ B =^ v^ B -

3;

Logo: i = 2

4 − vA - (v B -^ 3)^ ; substitu indo v^ A e^ v^ B por:^ -v ,^ irem os ter:

A

Ii (^) A

Iv (^) A

1

2

Iv (^) A

3 Ii^ A Ii (^) B

B

Ii (^) B

Iv (^) B

4

3

Iv (^) B

1 2 -

1

2

3

4

-3 -

1

2

3

4

E :

A B

2 4

1 3

Ii

Iv

A B

2 4

1 3

Ii

Iv (^) A Iv (^) B Iv

Ii (^) A Ii (^) B

i = 2

4 + v - ( -v - 3) ⇒ 2 i = 4 + v + 2v + 6 ⇒ v = 3

2 i − 10

b) Sendo v = 4V teremos 4 = 3

2 i− (^10) ⇒ 12 = 2i - 10 ⇒ i = 11A

c) Supondo-se i = 8A na associação , teremos: v = 3

2 ⋅ 8 − 10 = 2V

lem brando que v = -v (^) A , terem os : v (^) A = -2V ; substitu indo em : i (^) A = 2

4 − vA ,

teremos: i (^) A = + = 2

4 2 3A ;

lem brando que v = -v (^) B , ⇒ : v (^) B = -2V ; com o: i (^) B = v (^) B - 3 ⇒ i (^) B = -5A

b) EXERCIC IOS PEL A OBTENÇÃO DE CURVAS C AR ACT ERIST IC AS A P ART IR DOS CIRCUIT OS

EXERCICIOS PROPOSTOS:

1. Determ inar a curv a característic a da associação de bipolos do circuito abaixo:

Poderem os entender o circuito pr oposto com o sendo a associação em paralelo de dois circu itos m ais sim ples ou sej a:

E ainda interpretaremos cada bipolo como sendo:

6 Ω

6V

i

2A 3 Ω v

6 Ω

6V

i

2A 3 Ω v

1

2

3

4

6 Ω

6V

2A 3 Ω

1

2

3

4

i 1

v 1 +

i 2

= v^2

(^1 )

a) Determ ine a equação característica de cada bipolo, conforme convenção ind icada;

SOLUÇÃO:

Para B 1 : v^1 =^12 +^3 i 1 ⇒ (^3) i 4 v^1 1 = − +

Para B 2 : 12

1 i v^2 = 2 + ⇒ v^2 =^12 −^12 i 2 ⇒ (^12) i 1 v^2 2 = −

Para B 3 : 6

i 1 v^3 3 =^ + ⇒^ v^3 =^6 i^3 −^6 ⇒^6 i 1 v^3 3 = +

b) Determ ine a equação característica da associação abaixo e determ ine a tensão

em cada bipolo, supondo-se uma tensão de 48V na associação:

SOLUÇÃO: Observe com o podemos concluir a sentença da associação, em função das características de cada bipolo:

1 1 3

2 2 4

i 1 i^2

i 1 i 2

v 1 v 1 v 2 v^2

1A

3

4

B 1 B^2

3 Ω

12V

;^12 Ω

5

6

i (^3) i (^3)

1A v 3 v^3

5

6

6 Ω B 3

1 B (^1) 2 = 4 B 2 B 3

v

3 = 6

5 i

Donde concluirem os que: 

1 2 3

1 2 3

i i i i

e:

v v v v

Logo: v = (12 + 3 i 1 ) - (12 - 12i 2 ) - ( 6 i 3 - 6 ) ; substituindo i 1 , i 2 e i 3 :

v = (12 - 3i) - (12 + 12i) - ( 6 i - 6 ) ⇒ v^ =^6 −^21 i ⇒ (^21)

v 7

i =^2 −

se v = 48 ⇒ 2 A 21

i = 2 − = − = − ; i 1 = 2A^ ; i^2 = 2A^ ; i^3 = - 2A

v 1 = 12 + 3i 1 ⇒ v 1 = 18V ; v 2 = 12 - 12i 2 ⇒ v 2 = -12V ; v 3 = 6i 3 - 6 ⇒ v 3 = -

18V

c) Determ ine a equação característ ica

da associação ao lado; determ ine a

corrente em cada bipolo, supondo-se

um a corrente de 13A na associação:

SOLUÇÃO: Observ e ao lado como

podem os concluir a sentença da

associação, em função das

características de cada bipolo:

Donde concluirem os que: 

1 2 3

1 2 3

i i i i

e:

v v v v

logo: ( ) ( ) ( )

1 v 12

1 v 3

i = − − 4 + v^1 + −^2 + +^3 ; substitu indo v 1 ,^ v^2 e^ v^3 :

(^1) B 1 B 2 B 3 2 = 4

v i 3 = 6 (^5)

v 1 v 2 v 3

i 2 i 3 i 1

1

2

B 1

4

3

B 2

6

v B 3

i

5

1

2

i 1 v 1 B 1

4

3

i 2 v 2 B 2

6

i 3 v 3 B 3

v

i

5

Donde concluirem os que :  

4 3

4 3

i i i

e:

v v v

Logo: ( ) ( ) 6

1 v 5

i = v^4 + − +^3 ; substitu indo v 3 e^ v^4 terem os:

( ) ( ) 6

1 v 5

i = v + − − ⇒ 5

i = 7 v + ou: (^7)

v =^30 i −

Se i = 9A ⇒ 36 V 7

v = 30 x^9 −^18 = = ; v 4 =^ 36V^ ;^5

=^36 +

i 4 = 4A ;

Se i = 9A ⇒ v = 36V ; v 3 = - 36V ; 6

= 1 −^36

i 3 = - 5A ;

com i 4 = 4A ⇒ i 1 = - 4A com : v 1 = 12 + 3 i 1 ⇒ v 1 = 0V ;

Finalm ente com i 4 = 4A ⇒ i 2 = 4A com : v 2 = 12 - 12i 2 ⇒ v 2 = - 36V

Cuja distr ibuição em termos de “Blocos” fornece:

Ainda, a m esma análise em term os de circuitos , com prova que:

(^2) B 1 B (^23)

(^6) B 3 5

i = 9A i^1 = - 4A 1 = 4^ i^2 = 4A

i 3 = - 5A v 3 = - 36V

v = 36V

v 1 = 0V (^) v 2 = - 36V 2

3

1 = 4 1A

9A

36V

12V

36V

5A

12V

4A^12 Ω

0V

3A

1A

3 Ω

6A^6 Ω 6 5

1ª FOLHA DE EXERCÍCIOS CAP 1 (ASSOC. DE BIPOLOS)

ENTREGA LIMITE: SEMANA DE: a / /

COMBINE A ENTREG A COM O SEU PROFESSOR DE LABORATORIO

OB SERVA ÇÕES :

a ) A lguns dos e xe rc íc ios aba ixo pr opos tos , dependem d o n ° de m atr í cu la d o a luno. As le tr as: A B C , rep resen tam respec t iv am ente os t rês ú lt im os alg a r ism os des te núm ero. E xem p lo: a luno m at rícu la n º 1 2. 3 1 4 : A =3 ; B = 1 e C = 4 ;

b ) O s ím bo lo : I N T [.. ] rep resen ta o v alor in te iro do resu lt ado ; e xemp lo :

^ Ω 

  = ^ + + + 3 R INT A B C^3 ;^ no nosso caso :^ Ω = Ω 

INT^3143

1 º) S endo f orn ec idas as cu rv as ca rac te rís t icas dos b ipo los A e B , com as conv enções ind icadas , pede -se :

a ) Ob te r a Equação Ca rac te rís t ica de cada B ipo lo, con fo rm e Conv enção ind icada ;

b ) Ob te r a Equação Ca rac te rís t ica de cada assoc iação aba ixo pr opos ta con form e Conv enção ind icada ;

c ) De poss e do it em b ) de te rm ine a tensão em cada b ipo lo supo ndo- se um a te nsão

V 3

V INT A B C^3 

  = ^ + + + ap licada em c ada assoc iaç ão

1

2

i (A)A

iA

v (V)A

A

vA

3

4

I (A)B

IB

V (V)B

B

VB

8

4

2

1

7

3

-1 -

A B A^ B

a) b) v (^) v

1 = 3 i^ 2 = 3 i

c ) De poss e do it em b ) de te rm ine a tensão em cada b ipo lo supo ndo- se um a te nsão

V 3

V INT A B C^3 

  = ^ + + + ap licada em c ada assoc iaç ão

d ) Ob te r a Equação Ca racte r ís t ica de cada assoc iação a segu ir con fo rm e Conv enção ind icada :

e ) De posse do it em d ) de te rm ine a cor ren te em cada b ipo lo supond o-se um a

co r ren te (^) A 3 I INT 2A^3 B^3 

  = ^ + + ap lic ada em cada associa ção

f ) Obt er a Equação C arac te r íst ic a de cada assoc iação a segu ir c onfo rm e Conv enção ind icada :

g ) De posse do it em f ) de te rm ine a co rr ent e e a tensão em cada b ipo lo supondo -se

um a co r ren te (^) A 3 I INT 2A^3 B^3 

  = ^ + + a p licada em cad a assoc iação

i A B^ v

i B v

B 1 B 2 B 3

i A B^ v

i B v

B 1 B 2 B 3

B 1 1 = 3 B 2 B 3

a) v

i 2 = 5 4 = 6

B 1

B 2

B 3

b) v

i 4 = 6 2 = 5

C APÍT ULO 2 – BIPOLOS GER AD ORES, EQUIV ALENCI AS E DESLOC AMENT O DE

GER ADORES - EQUIV ALENT E THEVENÌM DE UM C IRCU IT O

1 ) - B IPOLOS GER ADORES:

1. 1 ) - GER ADOR DE T ENSÃO IDE AL : B ipolo que m antém entre os seus term inais um a certa tensão, idêntica a uma determ inada função do tempo, seja qual for a sua corrente. Note que a corrente de um gerador de tensão é indeterminada. Note ainda que: “Qualquer bipolo em parale lo com um gerador de tensão ideal, possui a tensão do gerador” ; Note de fato que:

a) Seja qual for o bipo lo B, sua tensão é a do gerador de tensão, não interfer indo nos resultados d o r es t o d o c i r c u i t o ; b) O único parâm etro afetado é a corrente do gerador de tensão que mudará em função do conteúdo do bipolo B

1. 2 ) - GER ADOR DE CORRENTE IDE AL : B ipo lo que impõe entre os seus term inais um a certa corrente, idêntica a uma determ inada função do tem po, seja qual for a sua tensão. Note que a tensão de um gerador de corrente é indeterminada. Note ainda que: “Qualquer bipolo em série com um gerador de corrente ideal, é percorrido pela corrente gerador” ; Note de fato que:

a) Sej a qual for o bipolo B, sua corrente é a do gerador de corrente, não interfer indo nos resultadosd o r es t o d o c i r c u i t o ; b) O único parâmetro afetado é a tensão do gerador de corrente que mudará em função do conteúdo do bipolo B

Dam os abaixo as representações dos geradores ideais:

OB S :v (^) g (t), e i (^) g (t ) s ignif icam variá veis com o tempo

vg v^ g

B

ig

vg

ig (^) vg

B i g ig

2. Suponha agora por exemplo que queremos lev antar a curv a característica conform e convenção indicada do bipolo “ B” ao lado mostrado, que é composto da associação de um Gerador de corrente I , em parale lo com um Resistor r ;

Pela análise da associação em parale lo no nó concluím os que:

I = i + rv ⇒ r.I = r.i + v ∴ v = r.I − r. i

(Curv a característica resultante : v em função de i)

DEMONST RAÇÃO D A EQU IV ALÊ NCIA NORT HON THEVENÌM:

Atrav és das equações características acim a obtidas, v isualizem os as suas curvas características:

Donde concluím os, que para que os dois bipolos possuam absolutamente o mesmo comportam ento para qualquer v e para qualquer i , que:

E = r.I e : (^) RE^ = I ; R = r ; logo: E = r. I = RI ; e r

E

R

I = E =

Nestas condições irem os ter:

i

v I r v B

i B

I r v

I i

v r

v

i

E

E R

v

i

r.I

Curva caracteristica de '’A’’

Curva caracteristica de '’B’’

I ;

i

v (^) v

R

E

i

E R R^ v

i

R

i

v

R I R.I

Gerador de tensão p/ Gerador de corrente Gerador de corrente p/ Gerador de tensão

Com o extensão de conceito, poderemos estender o raciocínio acim a para tensões e correntes variá veis com o tempo:

3 ) DESLOC AMENT O DE GER ADO RES IDE AIS: Um a ferramenta poderosa utilizada

na resolução de circuitos elétr icos, e baseada nos conceitos de geradores ideais

consiste no deslocamento de geradores :

a) - Des l o c am en t o d e g er ad o r i d eal d e t en s ão :

Suponham os que num determ inado nó de um circuito exista conectado um gerador

ideal de tensão, e ainda que a este nó conv irj am vários ramos. O gerador de tensão

poderá então ser deslocado, sendo in ic ialm ente conectado em paralelo com vários

geradores de tensão idênticos (tantos quantos forem os ramos de convergência), e

posteriormente com a subdiv isão do nó, por exemplo da form a como se segue:

b ) - Des l o c am en t o d e g er ad o r i d eal d e c o r r en t e:

De forma dual ao caso anterior, t am bém é possivel deslocar um gerador ideal de

corrente que forme um a m alha, substituindo-o por geradores idênticos em paralelo

com todos os ram os da m alha a que ele pertence, por exem plo da form a com o se

segue:

i

v (^) v

R

i

R v

i

R

i

v

R

Gerador de tensão p/ Gerador de corrente Gerador de corrente p/ Gerador de tensão

v (^) g (t) R v g (t)

i (^) g (t)

• R.i^ g^ (t)