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CAPÍTULO 6
NÚMEROS COMPLEXOS
6.1.PARA QUE SERVEM OS NÚMEROS COMPLEXOS?^1
As equações de segundo grau com discriminante (delta) negativo não motivaram o aparecimento dos números complexos. Que significado teria, então, os números negativos e as raízes quadradas destes números? Os números complexos emergiram em pleno momento histórico chamado de Renascença (1400-1600) quando, em função do desenvolvimento comercial e do crescimento das cidades européias, o desenvolvimento da Matemática foi notório. Os complexos não foram aceitos naturalmente como números. Não havia sentido (significado geométrico) em uma raiz quadrada de um número negativo. As equações cúbicas estudadas por Cardano^2 em 1545 e por Bombelli^3 em 1572 motivaram a utilização dos números complexos. Foi necessário trabalhar com os números complexos, “como se fossem números”, para achar a solução real e positiva: x = 4 do seguinte problema:
“Seja x 3 o volume de um cubo de aresta x e 15 x o volume de um paralelepípedo retângulo cuja área da base é 15 e cuja altura é igual à aresta do cubo. Determine x de modo que x 3 = 15 x+ 4 ”. Foi encontrada uma dificuldade ao aplicar o método fórmula de Cardano nesta equação de terceiro grau, pois apareceu na solução uma raiz quadrada de número negativo:
x =^3 2 + − 121 +^32 − − 121.
Como uma solução com radicais de números negativos poderia produzir uma solução real e positiva x = 4? A solução gráfica da equação pode ser vista no gráfico da Fig.6.1.
A fórmula de Cardano estaria errada? O número x =^3 2 + − 121 +^32 − − 121 = 4? O símbolo − 1 , para a raiz quadrada de − 1 , introduzido por Girard^4 em 1629, passou a ser representado pela letra i a partir de Euler^5 em 1777. Foi Descartes^6 , em 1637 quem
(^1) Baseado no artigo “Para que servem os Números Complexos?” do Prof. Valter Bezerra Dantas da UFRN. (^2) Girolamo Cardano nasceu em Pavia em 1501 e faleceu em Roma em 1576. Foi um cientista e sábio à moda de seu tempo. Na matemática foi o primeiro a introduzir as idéias gerais da teoria das equações algébricas. 3 Rafael Bombelli (ou Raffaele Bombelli ou Raphael Bombelli) nasceu em Bolonha em 1526 e faleceu em Roma em 1572. Foi um matemático e engenheiro hidráulico italiano. Ele foi pioneiro em determinar as regras algébricas dos números negativos e dos números complexos, em sua obra 4 L'Algebra. Albert Girard nasceu na França em 1595 e morreu na Holanda em de 1632. Era francês, mas emigrou como refugiado religioso para a Holanda. Estudou matemática na Universidade de Leiden. Trabalhou em álgebra, trigonometria e aritmética. Em 1629, escreveu 5 Invention nouvelle en l'algèbre, demonstrando que as equações podiam ter raízes negativas e imaginárias. Leonhard Paul Euler nasceu na Basileia em 1707 e morreu em São Petersburgo em 1783. Foi um grande matemático e físico suíço que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos. Também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação. 6 René Descartes nasceu na França em 1596. Foi um filósofo francês, matemático e escritor que passou a maior parte de sua vida adulta na Holanda onde morreu em 1650. A influência de Descartes na matemática é imensa. Ele é creditado como o pai da geometria analítica, a ponte entre álgebra e geometria, crucial para a descoberta do cálculo infinitesimal e análise matemática. Seu nome latinizado tem a forma: Renatus Cartesius de onde surge o termo “cartesiano". Em 1637, publicou anonimamente "A Geometria" onde introduz o sistema de coordenadas que ficaria conhecido como "cartesianas", em sua homenagem.
introduziu os termos real e imaginário. A expressão números complexos foi usada pela primeira vez por Gauss^7 em 1831.
Fig.6.1-Gráfico da função: f(x) = x^3 – 15x - 4.
De forma independente, Girard (1628), Wallis^8 (1685), Argand^9 (1790) e Wessel^10 (1797) motivados pela Geometria e pela Topografia, representaram geometricamente, de maneira intuitiva e prática, os complexos como pontos (vetores) num plano cartesiano. Gauss (1831) e Hamilton^11 (1833) redescobriram a representação geométrica e definiram os complexos. Gauss os definiu como números da forma a + bi, onde a e b são
números reais e i 2 =− 1. Hamilton os definiu como o conjunto dos pares ordenados ( a, b),
onde a e b são números reais, identificando ( 0 , 1 )com 0 +ie ( 1 , 0 )com 1 + 0 i.
A representação geométrica dos complexos permitiu que eles fossem visualizados e, por conseguinte, aceitos como números. A possibilidade de extrair a raiz enésima de um complexo dada por Cotes^12 (1714), Moivre^13 (1730), D'Alembert^14 (1746), Euler (1748) e
(^7) Johann Carl Friedrich Gauss nasceu em Braunschweig em 1777 e morreu em Göttingen em 1855. Foi matemático, astrônomo e físico alemão. Conhecido como o príncipe dos matemáticos, muitos o consideram o maior gênio da história da matemática. O encontro de Gauss com o teorema binômio inspirou-o para alguns de seus maiores trabalhos, tornando-se Gauss o primeiro "rigorista". O rigor imposto por Gauss à análise matemática tornou-a totalmente diferente e superou toda a análise matemática feita por seus antecessores. 8 John Wallis nasceu na Inglaterra em 1616 onde morreu em 1703. Foi um matemático britânico cujos trabalhos sobre o cálculo foram precursores aos de Newton. No seu livro 9 Treatise on Algebra aceita raízes negativas e raízes complexas. Jean-Robert Argand nasceu em Genebra em 1768 e morreu em Paris em 1822. Foi um livreiro e matemático amador. Argand publicou em 1806 uma interpretação geométrica dos números complexos, o Diagrama de Argand. Esta descrição geométrica dos números complexos também é associada ao nome de Gauss, embora anteriormente a Gauss Caspar Wessel também tenha descrito o diagrama. 10 Caspar Wessel nasceu em 1745 e morreu em 1818. Foi um matemático dinamarquês-norueguês que descobriu, em 1797, uma representação gráfica para os números complexos, publicada em 1798 nas atas da academia dinamarquesa. O trabalho de Wessel ficou praticamente esquecido. A interpretação geométrica foi amplamente aceita alguns anos mais tarde, quando Gauss publicou resultados análogos. Hoje, o nome do plano onde representa-se os números complexos é conhecido como Plano de Argand-Gauss. 11 William Rowan Hamilton nasceu em Dublin em 1805 e morreu na mesma cidade em 1865. Foi matemático, físico e astrônomo irlandês. Contribuiu com trabalhos fundamentais ao desenvolvimento da óptica, dinâmica e álgebra. 12 Roger Cotes nasceu em Burbage em 1682 e morreu em Cambridge em 1716. Foi um matemático inglês que inventou as fórmulas da integração numérica conhecidas como fórmulas de Newton–Cotes e primeiramente introduzir o que hoje é conhecido como fórmula de Euler. 13 Abraham de Moivre nasceu na França em 1667 e morreu em Londres em 1754. Foi um matemático francês famoso pela Fórmula de De Moivre, que relaciona os números complexos com a trigonometria, e por seus trabalhos na distribuição normal e na teoria das probabilidades. 14 Jean Le Rond d'Alembert nasceu em Paris em 1717 onde morreu em 1783. Foi um filósofo, matemático e físico francês. Seus principais feitos foram no campo da astronomia e em matemática, com estudos de equações com derivadas parciais e seu uso na física. Também provou que todas as equações polinomiais a uma variável de grau N tem exatamente N soluções.
soma de complexos (vetores) e da multiplicação de complexos (vetores), que é essencialmente uma rotação seguida de homotetia^17 , portanto, não se trata do produto escalar e muito menos do produto vetorial da Álgebra Vetorial. A quantidade complexa (ou fasor) é uma grandeza que pode ser representada e operada vetorialmente, pela álgebra dos números complexos, no plano. Pode significar uma variação de amplitude (ou módulo) e fase (ou argumento) num movimento periódico (como acontece nos circuitos elétricos de corrente alternada). Grandeza vetorial (ou vetor) é aquela que possui direção, sentido e módulo. É representada e operada vetorialmente no plano e no espaço por uma álgebra vetorial diferente da álgebra dos complexos. Foi através do uso e da compreensão dos números complexos que, certos “defeitos” existentes no conjunto dos números reais foram “consertados”, como por exemplo, a conexão entre logaritmos, funções trigonométricas e fatoriais. Os números complexos abriram caminho para que os matemáticos pudessem criar (experimentar) novas álgebras. Na eletrônica e na eletricidade, a análise de circuitos de corrente alternada é feita com a ajuda de números complexos. Grandezas como a impedância e a potência aparente são exemplo de quantidades complexas. Vale ressaltar que na Física e na Engenharia é usado, como número imaginário, o j no lugar do i para evitar confusão com o i que o símbolo representativo da corrente elétrica.
6.2.REPRESENTAÇÕES DOS NÚMEROS COMPLEXOS
6.2.1.REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA
Os números complexos são representados geometricamente no plano complexo também conhecido como plano de Argand-Gauss. Nele, representa-se a parte real no eixo horizontal (eixos das abscissas) e a parte imaginária no eixo vertical (eixos das ordenadas). Esta representação conduz a outras formas de representação de um número complexo como veremos a seguir.
6.2.2.REPRESENTAÇÃO ALGÉBRICA
A cada ponto ( a, b) do plano associamos um número complexo. Quando b = 0 temos
que o ponto está situado sobre a reta real (eixo horizontal) e neste caso corresponde a um número real, que é representado pela letra a. Por exemplo, o ponto (− 3 , 0 ) corresponde ao
número real − 3. Quando b ≠ 0 o ponto não está situado sobre a reta real e então utilizamos a representação, já sugerida por Gauss, a + jb, que é chamada de representação algébrica ou
representação cartesiana do número complexo. É claro que todo ponto situado sobre a reta real também é um ponto do plano e, portanto representa um número complexo, ou seja, todo número real é um número complexo. Cada número complexo tem sua parte real e sua parte imaginária. Resumindo, um número complexo representa-se algebricamente por: z = a+ jb, (6.1)
onde:
- a ∈ Ré a parte (ou componente) real de z e escreve-se Re( z )=a;
(^17) Homotetia é a ampliação ou a redução de distâncias e áreas a partir de um ponto fixo.
- b ∈ Ré a parte (ou componente) imaginária de z e escreve-se Im(z )=b.
Note que a parte imaginária de z não é jb. Por definição, a parte imaginária é um número real. Diz-se, ainda, que:
- o complexo z é um número real se e somente se Im( z )= 0 ;
- o complexo z é um imaginário puro se e somente se Re( z) = 0 e Im( z )≠ 0 ;
- o complexo z é nulo se e somente se Re( z )= Im(z)= 0. Vejamos alguns exemplos da representação num plano complexo.
Fig.6.3-Representação do número: z 1 = 4 +j 2.
Fig.6.4-Representação do número: z 2 = − 3 +j 3.
Fig.6.5-Representação do número: z 3 = − 3 +j(− 1 )=− 3 −j.
onde r é a distância do ponto ( a, b) até a origem do sistema de coordenadas, é chamada de
módulo do número complexo e denotada por:
| z |= r= a^2 +b^218 ; (6.3)
θ é o ângulo entre r o semi-eixo real positivo chamado de argumento ou fase do número complexo e denotado por:
θ =arg( z )=arctan(b/a). (6.4)
Utilizamos, nesta representação, o sentido anti-horário, ou seja, θ é positivo se medido no sentido anti-horário e negativo se medido no sentido horário.
6.2.4.REPRESENTAÇÃO POLAR
Pelo fato da representação trigonométrica dos números complexos ser um caso particular da utilização das coordenadas polares, como veremos mais adiante, ela está ligada, diretamente, à representação polar dos números complexos. A forma utilizada para a representação polar, é: z = r∠ θ, (6.5)
onde r é o módulo do número complexo e θ é o argumento do número complexo. Vejamos outros exemplos da representação num plano complexo.
Fig.6.9-Representação do número: z 6 = 10∠∠∠∠ 45 o^ = 10∠∠∠∠π/4.
Fig.6.10-Representação do número: z 7 = 12∠∠∠∠ 180 o^ = 12∠∠∠∠π.
(^18) Também é usual encontrarmos o módulo de um número complexo representado pela letra grega ρ.
Fig.6.11-Representação do número: z 8 = 8∠∠∠∠-45o^ = 8∠∠∠∠-π/4.
6.2.5.REPRESENTAÇÃO EXPONENCIAL
Os números complexos podem, ainda, ser apresentados em outra forma bastante útil, decorrente da fórmula de Euler^19. Para provarmos a fórmula de Euler necessitaríamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Como esse assunto será estudado em Cálculo II, vamos, apenas, apresentá- lo sem maiores deduções ou considerações. A expansão em série de Taylor de uma função analítica f (x) centrada em a é
representada como:
∑
∞
=
0
n
n f x Cn x a ,
onde C (^) n = f(^ n)(a)/n!.
Usando esse conceito de expansão e tomando f ( x)= ex em torno de a = 0 , teremos:
= (^) ∑ = + + + + K
∞
= 1!^2!^3!
2 3
0
x x x n
x e n
n x (^).
Substituindo x por jx na equação anterior, obtemos a seguinte expressão:
∑ ∑ ∑
∞
=
∞ − −
=
∞
= −
0
1 2 1
0
2
0 (^21 )!
n
n n
n
n n
n
n jx n
x j n
x n
jx e.
Pode-se provar que a primeira parte da soma da equação anterior é a expansão da função co- seno de x e a segunda é a expansão da função seno de x em série de Taylor na origem. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler:
e jθ^ =cos θ+jsen θ. (6.6)
Se multiplicarmos os dois membros da equação (6.6) por r, temos:
re jθ^ =r(cos θ+jsenθ). (6.7)
Comparando a equação (6.7) com a equação (6.2) temos que:
(^19) Leonhard Paul Euler nasceu em 1707 e morreu em 1783. Foi um grande matemático e físico suíço de língua alemã que passou a maior parte de sua vida na Rússia e na Alemanha. Fez importantes descobertas em campos variados nos cálculos e grafos. Ele também fez muitas contribuições para a matemática moderna no campo da terminologia e notação, em especial para as análises matemáticas, como a noção de uma função matemática.
Fig.6.12-Representação geométrica do conjugado.
Temos ainda que: | z |=| z|, arg( z )= −arg(z), Re( z )= Re(z)e Im( z )= −Im(z).
6.5.POTÊNCIAS DE J
Sabemos que j 2 =− 1. Existem algumas situações em que necessitaremos obter outras
potências de j, como, por exemplo, j^15. Vamos observar o comportamento presente nas
potências de j e determinar um padrão que será utilizado para obter qualquer potência desse número. Para isso vamos considerar a tabela 6.1, dada a seguir, que apresenta alguns valores da identidade complexa, j, elevada a alguns valores inteiros e positivos.
Tabela 6.1-Potências de j j 1 = j j 5 = j j 9 =j j 2 =− 1 j 6 =− 1 j^10 =− 1 j 3 =− j j 7 =−j j 11 =−j j 4 =+ 1 j 8 =+ 1 j^12 =+ 1
Observe que na potência de j com expoente 4 os valores começam a se repetir e o mesmo acontece nas potências com expoentes 8 e 12, caracterizando um padrão de repetição no cálculo dessas potências. Como os valores se repetem a cada quatro potências calculadas, ou seja, de 4 em 4, podemos concluir que o resultado corresponde a j elevado ao resto da divisão n 4. Assim, j n^ = j^4 k^ +^ r=j^4 k⋅jr=j^ r, (6.10)
onde r é o resto da divisão n 4. Por exemplo, se desejamos calcular o valor de j^125 , faremos
a divisão de 125 por 4. Temos 31 como resultado da divisão e 1 como resto. Logo, calcular o
valor de j^125 é o mesmo que calcular o valor de j elevado ao resto da divisão de 125 por 4, ou
seja, é o mesmo que calcular j^1. Assim, j 125 = j^1 =j.
Exercícios Resolvidos 6.3.
a)Calcule j 2001.
Solução: Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo j 2001 = j^1 =j.
b)Determine a parte real do número complexo z = ( 1 +j )^12.
Solução: Observe que z = ( 1 +j)^12 =[( 1 +j)^2 ]^6. Nestas condições, vamos desenvolver o
produto notável: ( 1 + j )^2 = 1 + 2 j+j^2 = 2 j.Substituindo na expressão dada, teremos o
seguinte: z = ( 1 +j)^12 =[( 1 +j)^2 ]^6 =( 2 j)^6 = 64 j^6 =− 64. Portanto, o número complexo dado
tem somente parte real que é igual a − 64.
6.6.OPERAÇÕES ELEMENTARES
O conjunto dos números complexos é um corpo^20. Portanto, é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não- nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. Todas as operações do corpo possuem as propriedades associativa, comutativa e distributiva, levando em consideração a identidade
j 2 = 1.
O.1.ADIÇÃO
Para definir a operação de adição no conjunto dos números complexos podemos lembrar que cada ponto do plano representa um número complexo e então, levando-se em consideração a situação geométrica, pensar na maneira mais coerente de definir esta adição. Veja a Fig.6.13. Considerando os números complexos como vetores e, geometricamente falando, a sua soma não passa da soma de vetores através da "regra do paralelogramo".
Fig.6.13-Representação geométrica da adição com números complexos.
Na Fig.6.13 temos z 1 = (a,b) e z 2 = (c,d), portanto, z 1 + z 2 =(a+c,b+d). Facilmente
vemos que esta idéia é coerente com a adição já definida no conjunto de números reais (lembre que cada número real é um número complexo e que geometricamente está situado no eixo horizontal). Se z 1 e z 2 são reais temos, z 1 = (a, 0 ) e z 2 = (c, 0 ), portanto,
z 1 + z 2 =(a+c, 0 )que representa o número real a + c. Como as representações algébricas de z 1 = (a,b )e z 2 = (c,d)são respectivamente z 1 =a+jbe z 2 =c+jdobtemos:
z 1 + z 2 =(a+c)+j(b+d ), (6.11)
que é a representação algébrica da adição de z 1 por z 2.
(^20) Todo conjunto munido de operações de adição e multiplicação adquire uma estrutura algébrica denominada corpo algebricamente fechado, sendo que esse fechamento consiste na propriedade que tem o conjunto de possuir todas as soluções de qualquer equação polinomial com coeficientes naquele mesmo conjunto (no caso, o conjunto dos complexos).
z 1 ⋅ z 2 =(ac−bd)+j(ad+bc ), (6.13)
na forma algébrica ou por:
z 1 ⋅ z 2 =r 1 r 2 [cos( θ 1 +θ 2 )+jsen(θ 1 +θ 2 )], (6.14)
na forma trigonométrica. A interpretação geométrica do produto de dois complexos não é simples. Esta operação não corresponde, diretamente, a nenhuma operação conhecida entre vetores. Façamos algumas observações:
- Supondo que z 2 seja um número real, isto é, que d = 0 , o produto de z 1 por z 2 corresponde ao produto do vetor ( a, b) pelo escalar real c. Se c > 0 , esta operação corresponde a uma ampliação, de razão c, do vetor z 1 e, se c < 0 , corresponde a uma ampliação, de razão | c |, do mesmo vetor, seguida de uma rotação de 180º de centro na origem.
- Considerando, agora, que z 2 =j, o produto do complexo a + jbpor j corresponde à rotação de 90º no sentido anti-horário e em torno da origem do vetor ( a, b), obtendo-se o vetor ( −b ,a).
- O produto de um complexo a + jb por um imaginário puro jk combina as duas operações anteriores: o produto do vetor ( a ,b)por k, seguido de uma rotação de 90º no sentido anti-horário em torno da origem do vetor obtido. Estas operações podem ser facilmente visualizadas na Fig.6.15.
Fig.6.15-Considerações geométricas do produto.
Em resumo, podemos dizer, geometricamente, que multiplicar dois complexos significa multiplicar seus módulos e girar o complexo z no sentido anti-horário de um ângulo ϕ. A multiplicação apresenta as seguintes propriedades:
P1.Comutativa: z 1 ⋅z 2 =z 2 ⋅z 1
P2.Associativa: ( z 1 ⋅z 2 )⋅z 3 =z 1 ⋅(z 2 ⋅z 3 )
P3.Elemento Neutro Multiplicativo: O elemento neutro de um número complexo para a multiplicação é o número e = 1 , tal que: z ⋅ e=e⋅z= z.
P4.Elemento Inverso: O inverso de um número complexo z, denotado por z −^1 é outro número complexo tal que:
z ⋅ z−^1 =z−^1 ⋅z= 1. Como o complexo 0 multiplicado por qualquer complexo z sempre é 0, podemos perceber que este complexo não possui inverso e, portanto, a propriedade não é válida. Vejamos o que acontece para um complexo diferente de zero.
Dado z = r(cos θ+jsenθ), não nulo, desejamos encontrar z −^1 =ρ(cosα+jsenα) tal que
z ⋅ z−^1 = 1. O produto dos dois números é: z ⋅ z−^1 =rρ[cos(θ+α)+jsen(θ+α)]= 1 o que nos
leva a: z ⋅ z−^1 =rρ[cos(θ+α)+jsen(θ+α)]= 1 =cos 0 +jsen0. Portanto, rρ = 1 e θ +α= 0.
Como r e ρ são reais positivos, temos que r
ρ = e α =−θ. Portanto o argumento principal de
z −^1 é 2 π −θ. Assim, temos: −^1 =^1 [cos(−θ)+ sen(−θ)]=^1 [cos(θ)−jsen(θ)] r
j r
z , pois co-seno
é uma função com simetria par e seno uma função com simetria ímpar. Vemos, portanto, que
z −^1 se relaciona ao conjugado de z. Logo, podemos escrever:
2
1 | z |
z z −^ =. (6.15)
Se z = a+jb, na representação algébrica, temos:
2 2
1 a b
a jb z
P5.Distributiva: Como agora temos as operações de adição e multiplicação nos complexos, podemos afirmar que a propriedade distributiva é válida, ou seja, z 1 ⋅ ( z 2 +z 3 )=z 1 ⋅z 2 +z 1 ⋅z 3.
Exercícios Propostos 6.2. a)Qual é o número complexo 2 z tal que: 5 z + z= 12 + 6 j?
b)Qual deve ser o valor de a para que o produto: ( a + j)( 3 − 2 j)seja puramente real?
c)Sendo a = − 4 + 3 j, b = 5 − 6 j e c = 4 − 3 j, qual é o valor de ac + b?
d)A soma de um número complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a − 8 − 6 j. Qual é
o módulo desse número complexo z?
Respostas: a) 4 + 3 jb) a = 3 / 2 c) − 2 + 18 j d) 13
O.4.DIVISÃO
O resultado da divisão entre z 1 e z 2 é o produto de z 1 pelo inverso de z 2 , ou seja:
1 1 2 2
(^1) = z ⋅z− z
z
. (6.17)
Essa operação não se aplica quando z 2 = 0 visto que o complexo 0 não possui inverso. Como regra geral, para se dividir um número complexo por outro, estando os dois números expressos na forma algébrica, basta multiplicar numerador e denominador pelo complexo conjugado do denominador. Como já foi dito, não é usual trabalhar com adições (ou subtrações) de números complexos na forma polar ou na forma exponencial. Por outro lado, a multiplicação e a divisão são mais facilmente realizadas na forma polar ou exponencial. Sejam os números complexos dados na forma exponencial: z 1 = z 1 ⋅ ej^ θ^1 e z 2 = z 2 ⋅ ej^ θ^2 , a multiplicação desses
dois números é: z 1 ⋅ z 2 =z 1 ⋅z 2 ⋅ ej(θ^1 +θ^2 ) e a divisão é ( ) 2
1 2
(^1) = ⋅ ejθ 1 −θ 2 z
z z
z
. Note o seguinte:
- Ao multiplicarmos dois ou mais números complexos nas formas exponencial ou polar, basta multiplicarmos seus módulos e somarmos seus argumentos. Esse resultado pode ser estendido para a forma trigonométrica.
negativo do eixo x, visto que formarão ângulos congruentes com 180 , portanto como o seno valendo zero e o co-seno valendo − 1.
- Suponha que | z |= 1 , isto é, o número complexo possui módulo unitário. Nesse caso, seu afixo (o ponto que o representa no plano de Argand-Gauss) estará numa circunferência de raio unitário centrada na origem. Substituindo | z | por 1 na fórmula da potenciação, temos: [cos( θ) +jsen (θ)]n =cos(nθ)+jsen(nθ). Geometricamente, z n significa rotacionar z n vezes de um ângulo θ (no sentido anti- horário quando n > 0 , ou sentido horário quando n < 0 ), localizando-o em um círculo de raio
r n.
Exercícios Resolvidos 6.4.
a)Calcule ( 1 + j )^9.
Solução: ( ) (^)
= ^ π+ π
sen 4
2 cos 4
sen 4
( 1 ) 2 cos^4
9
9 j 9 j j j.
Logo, ( 1 + j )^9 = 16 +j 16.
b)Sendo z = 1 +j 3 , calcular z^5.
Solução: 16 16 3 3
sen 3
( 1 3 ) 2 cos
5 j 5 j = −j
O.6.RADICIAÇÃO
Chamamos radiciação a uma potência de expoente fracionário. Cada número complexo tem n raízes, ou seja, a radiciação de números complexos dá-nos um conjunto de raízes. Observemos que as n raízes de um número complexo z são as soluções da equação:
z = w^ n,
que, no corpo dos complexos, tem n raízes. Chamamos de raiz n-ésima de um número complexo z o número complexo wk tal que ( w (^) k )n= z. Por exemplo,
- j é raiz quadrada de − 1 , pois j 2 =− 1 ;
- j é raiz cúbica de − j, pois j 3 =−j;
- 2 jé raiz quarta de 16, pois ( 2 j )^4 = 16. Para calcularmos as raízes n-ésimas de um número complexo, o mesmo deverá estar nas formas trigonométrica, exponencial ou polar. Assim, seja w = w⋅[cos α+jsenα] e
z = z⋅[cos θ+jsenθ ]. Supondo que z = wn, teremos w = n^ z. Logo,
z = z⋅[cos θ+jsenθ]=w ⋅[cos(nα)+jsen(nα )]
n.
Da equação acima, podemos concluir:
n z = w →w= z;
k n
θ+ π α =θ→α =
, k = 0 , 1 , 2 ,L ,n− 1.
Assim, as n raízes de um número complexo z serão dadas, utilizando-se a fórmula de Moivre, por:
= = ^ θ+ π n
k j n
k n (^) z zn n z
sen
cos
1 , (6.19)
onde < π
θ+ π ≤ 2
n
k e 0 ≤k <n.
Na equação (6.19), θ deve ser expresso em radianos. Caso se queira trabalhar em graus, a expressão torna-se:
= = ^ θ+ n
k j n
k n (^) z zn n z
sen
cos
1
. (6.20)
Vale ressaltar, ainda, que:
- todas as n raízes de z possuem o mesmo módulo;
- as n raízes de um número complexo de argumento θ, possuem argumentos que formam uma progressão aritmética de primeiro termo θ /n e razão 2 π /n em radianos ou 360 o^ /nem graus;
- para n ≥ 3 ,
- as n raízes de z têm por imagem os vértices de um polígono regular de n lados, inscrito numa circunferência de raio n^ z.
Exercícios Resolvidos 6.5.
a)Encontre as raízes quadradas de z = 4 +j 4 3.
Solução:
1º. Passo: calcular o módulo de z : z= 42 +( 4 3 )^2 = 8.
2º. Passo: determinar o argumento de + π
π ⇒θ=
θ= =
θ= = z 2 k 3 2
cos
sen :.
3º. Passo: usar a Fórmula de Moivre:
= ^ π+ π
π+ π
π+ π = k j k
k j
k z 6
sen 6
8 cos 2
sen^3 2
8 cos^32
1 2
1 2
1 ,
Ou seja, para k = 0 ⇒ 6 2 6
sen 6
(^222) cos
1 z j = + j
= ^ π+ π e para k = 1 ⇒
sen 6
(^222) cos
1 z j =− − j
π
π =.
b)Achar as 3 raízes cúbicas de − 8 ( w 0 , w 1 e w 2 ).
Solução: Temos z =− 8. Na forma trigonométrica, encontramos: z = 8 ⋅[cosπ+jsenπ].
As 3 raízes cúbicas de z possuirão módulo igual a w 0 = w 1 =w 2 =^3 z =^38 = 2 , e
argumentos dados por:
a) Para k = 0 ⇒ 3 3
0
π
π+ ⋅ ⋅ π α =. A primeira raiz cúbica de − 8 será:
Respostas: a) 24
sen 24 0 cos
π
π w = j , 24
sen 24
1 cos
π
π w = j , 24
sen 24
2 cos
π
π w = j ,
sen 24
3 cos
π
π w = j b) w 0 = 1 , 2
w 1 = − +j , (^2)
w 1 =− −j
6.7.RELAÇÕES DE EULER
Como mostrado anteriormente, através da equação (6.6), Euler provou que:
e jθ^ =cos θ+jsen θ. (6.20)
Trocando θ por − θ, na equação (6.2), encontramos:
e j(^ −θ^ )=cos(−θ)+jsen(−θ). (6.21)
Como co-seno é uma função par e seno é uma função ímpar, a equação (6.21) transforma-se em:
e −^ jθ^ =cos θ−jsen θ. (6.22)
Somando as equações (6.20) e (6.22), obtemos a fórmula de Euler para o co-seno:
cos
θ (^) + − θ θ=
e j^ e^ j
. (6.23)
Subtraindo a equação (6.20) da equação (6.22), obtemos a fórmula de Euler para o seno:
j
e j e j 2
sen
θ (^) − − θ θ =. (6.24)
6.8.PROPRIEDADES COMPLEMENTARES
Supondo que z e w sejam números complexos, são válidas as seguintes propriedades complementares (fica como exercício, a demonstração dessas propriedades):
P1. (z + w)=z+w
O conjugado da soma equivale à soma dos conjugados.
P2. z .w =z.w O conjugado do produto equivale ao produto dos conjugados.
P3. z ⋅w=| z|⋅|w|
O módulo do produto equivale ao produto dos módulos (essa propriedade não se aplica à soma)
P4. |z |=z
O módulo de um número complexo é igual ao módulo do seu conjugado.
P5. z ⋅z=| z |^2
O produto de um número complexo pelo seu conjugado é igual ao seu módulo ao quadrado.
P6. Para w ≠ 0 , (^2) | w |
w z w
z
