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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS, APOSTILA COM VARIOS EXERCICIOS RESOLVIDOS E PARA SEREM FEITOS
Tipologia: Notas de estudo
1 / 24
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CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Prof. Luiz Elpídio de Melo Machado
Versão: 2010/
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
CURSO DISCIPLINA
Nº DE AULAS SEMANAIS ANO 2010
SEMESTRE
2º
CARGA HORÁRIA PERÍODO 4º
UNIDADE ACADÊMICA INESP
EMENTA
Equações diferenciais de primeira e segunda ordem. Aplicação de equação diferencial
em: cinemática, dinâmica, vibrações mecânicas, biologia, economia.
OBJETIVOS
Ao final do curso o aluno deverá ser capaz de utilizar as técnicas de resolução das
equações diferenciais para resolver problemas.
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
I – Equações Diferenciais de Primeira Ordem
1.1 – Equações Lineares e Não-Lineares
1.2 – Equações de Variáreis Separadas
1.3 – Aplicações das Equações Lineares de Primeira Ordem
1.4 – Problemas de Mecânica
1.5 – Equações Exatas e Fatores Integrantes
1.6 – Equações Homogêneas
1.7 – Problemas e Aplicações Diversos
1.8 – Teorema da Existência e Unicidade
1.9 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem
II – Equações Lineares de Segunda Ordem
2.1 – Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes
2.2 – Soluções Fundamentais das Equações Homogêneas Lineares
2.3 – Independência Linear
2.4 – Raízes Complexas da Equação Característica
2.5 – Raízes Repetidas; Redução de Ordem
2.6 – Método dos Coeficientes Independentes
2.7 – Método de Variação de Parâmetros
2.8 – Oscilações Mecânicas e Oscilações Elétricas
2.9 – Oscilações Forçadas
MÉTODOS E RECURSOS DIDÁTICOS
Aula expositiva, seguida de debates, exercícios de sondagem e fixação; Proposição de
situações problemáticas, mediante condições explicativas para as possíveis soluções,
pesquisa em livros e na www.
Quadro negro, giz, internet, e-mail.
Atividades extra-classe:
AVALIAÇÃO
Serão distribuídos 100 créditos no decorrer do semestre através de trabalhos e provas.
Serão distribuídos 30 pontos no primeiro bimestre letivo, 35 pontos no segundo bimestre
e 35 pontos no terceiro bimestre.
As recuperações das avaliações ocorrerão ao longo do semestre.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1 – Equações Diferenciais
Uma equação diferencial é uma equação que envolve uma função sua variável e suas derivadas, ou seja
1.1 – Equações de Variáveis Separáveis
A equação geral de primeira ordem assume a forma
xy
f
dx
dy
,
. (Eq.1)
Se a Eq.(1) é não-linear, isto é , se f não é uma função linear da variável dependente y , não existe um método geral
para resolver a equação. Consideremos uma subclasse das equações de primeira ordem para as quais um processo
direto de integração pode ser usado.
Em primeiro lugar, reescrevemos a Eq.(1)
, , , , ,
,
,
,
xy xy xy xy x y
x y
x y
x y
dx
dy
dx
dy
dx
dy
f
dx
dy
, ,
dx
dy
x y xy
Eq.(2)
Caso M seja uma função apenas de
e N
seja uma função apenas de y , a Eq.(2) se torna
dx
dy
x y
Eq.(3)
Uma equação deste tipo é dita separável porque é escrita na forma diferencial
N dy M dx
N dy M dx
M dx N dy
y x
y x
x y
Exemplos
Ex.- 1 Resolva a equação
2
2
1 y
x
dx
dy
C ou y y x C
y x
y
y dy x dx
y dy x dx
y
x
dx
dy
3 3
3 3
2 2
2 2
2
2
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Ex.- 2 Achar a solução do problema de valor inicial
2
y
x x
dx
dy
,
0
y . Determine y em função de
x.
y y x x x C
x C
x x
y
y
y dy x x dx
y
x x
dx
dy
2 3 2
2 3 2
2
2
como
0
y então
2 3 2
2 3 2
y y x x x
3 2
2
3 2
1
3 2
3 2
2 3 2
y x x x ou y x x x
y x x x
y x x x
y y x x x
Ex.- 3 Resolver o problema de valor inicial
2
cos
y
y x
dx
dy
0
y .
senx C
y
y dy xdx x
y
dy x dx
y
y
y
dy x dx
y
y
dy x dx
y
y
y
y x
dx
dy
2
2 2
2 2
2
ln
2 cos ln 2
cos
cos
cos
cos
como
0
2
sen C C C
2
y y senx
Exercícios
Resolva a equação diferencial proposta:
E-1.
y
x
y
2
\
3
2
\
y 1 x
x
y
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
R - 7 e c
x
e
y
y x
2 2
ou y e x e c
y x
2 2
R - 8 c
y x
y
3 3
ou y y x c
3 3
x x
y
ou 6
x x
y
2
2
x x
y
ou 2 2 4
2 2
y x x
R - 11
2
x x
xe e
y
ou 2 2 1
2
x x
y xe e
R - 12
9 4 ln 3
cos
2 ln
2
x x senx
y
y
ou
cos 6 , 69
2 ln
2
x x senx
y
y
R - 13 ln( )
r
R - 14 ln 1 2
2
2
x
y
ou 2 ln 1 4
2 2
y x
R - 15
2
1
2
2
x
y
ou
2
x
y
ou
2
2
x
y
2 2
y y x
R - 17
4 2
4
x x
y ou
2
x
y
2 3
x
y y x e
2
x x
y y e e
R - 20
cos 2
sen y x
ou 2 sen 3 y 3 cos 2 x 3
R - 21
Bibliografia
BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações diferenciais elementares e problemas de valores de
contorno. Tradução Horacio Macedo. Rio de Janeiro: LTC, 1999, 6ª ed. 532p.
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
2 – Equações Diferenciais de Primeira Ordem
As equações diferenciais de primeira ordem
xy
f
dx
dy
,
onde f é uma função de duas variáveis. Qualquer função diferenciável
x
y g que satisfaça a esta
condição para todos os valores de x em um certo intervalo é considerada como uma solução; nosso
objetivo é determinar as essas soluções existem e, em caso afirmativo, desenvolver métodos para
encontrá-las. Infelizmente, para uma função arbitrária f , não existe nenhum método geral para revolver
a equação em termos de funções elementares. Assim, vamos descrever vários métodos, cada um dos
quais se aplica a uma subclasse das equações de primeira ordem. As subclasses mais importantes são
as das equações lineares e das equações separáveis.
Se a função f da Eq. (1) depende linearmente da variável dependente y , então a equação
pode ser escrita na forma
x x x x
p y q y p y q
dx
dy
\
, (2)
que é chamada equação diferencial linear de primeira ordem.
2.1 – Para
x
p e
x
q constantes
A equação mais geral de primeira ordem com coeficientes constantes é
ay b
dx
dy
onde
e b
são constantes
x x
a p eb q.
ay b dividindoosegundomembropor a temos
dx
dy
paraa
a
b
a y
dx
dy
. Assim temos,
a
b
a para y
y b a
dy dx
u k
u k
dx
d
y ba a recordando que
dx
d
ln ln. Então,
0
ln y ba ax C
onde 0
C é uma constante arbitrária. Tomando as exponenciais dos dois membros,
ax
C C ax
y ba axC
e e
a
b
e e y ba e e y
0 0 0
ln
, para
0
C
c e temos:
ax
ce
a
b
y . (4)
O comportamento geral da solução (3) depende principalmente do sinal do parâmetro a. Se
a 0 , então 0
ax
e quando x , e os gráficos de todas as soluções tendem para a assíntota
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
\
y y
\
y y
E-28. 2 2
\
y y
\
y y
\
y y
E-31. 2 3
\
y y
Resolva a equação diferencial e determine a função que passa pelo ponto dado:
\
y y e 0 , 3
\
y y e 0 , 2
\
y y e 0 , 1
\
y y e 1 , 0
\
y y e 2 , 0
\
y y e 3 , 0
Respostas
R - 22
t
t
y ke
6
R - 23
t
t
y 3 ke
R - 24
t
t
y 2 ke
R - 25
t
t
y ke
2
R - 26
t
t
y ke
3
R - 27
t
t
y ke
2
R - 28
2
t
t
y ke
R - 29
3
t
t
y ke
R - 30
t
t
y 1 ke
R - 31
t
t
y ke
2
R - 32
R - 33
R - 34
R - 35
R - 36
R - 37
2.2 – Fator Integrante
O objetivo é multiplicar a equação diferencial (2) por um fator integrante apropriado e assim
coloca-lo em uma forma integrável. Para determinar esse fator integrante, primeiro multiplicamos a Eq. (2)
por uma função
x
m
, ainda indeterminada. Temos então
x x x x x
x x x
m y m p y m q
y p y q m
\
\
. (5)
Devemos reconhecer o lado esquerdo da Eq.(5) como a derivada de alguma função. O fato de
que existem dois termos e um dos termos é
\
m y
x
sugere que o lado esquerdo da Eq.(5) pode ser a
derivada do produto
m y
x
. Para que isto seja verdade, o segundo termo do lado esquerdo da Eq.(5),
m p y
x x
, deve ser igual a
m y
x
\
. Isto, por sua vez, significa que
x
m deve satisfazer à equação
diferencial
x x x
m m p
\
. (6)
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Se admitirmos, temporariamente, que
x
m é positiva, podemos escrever a Eq.(6) como
ln 0
\
x x x x
x
x
m p param
dx
d
p
m
m
. (7)
Integrando os dois termos, tem-se:
0
ln
0
ln
m p dx C
x x
x x
e e
m p dx C
.
0
p dxC
x
x
m e
Observe que
x
m é positiva para todo x conforme admitido na Eq.(7).
Depois de determinarmos o fator integrante
x
m
, voltamos à Eq.(5). Como
x
m
satisfaz à
Eq.(6), a Eq.(5) se reduz a
x x x
m y m q
dx
d
Integrando ambos os membros da Eq.(9), obtemos:
m y m q dx c
x x x
x
x x
m
m q dx c
y
. (10)
Uma vez que y representa qualquer solução da Eq.(2), concluímos que toda solução da Eq.(2)
está incluída no segundo membro da Eq.(10). Portanto, esta expressão é uma solução geral da Eq.(2).
Observe que para se encontrar a solução dada pela Eq.(10) são necessárias duas integrações, a primeira
para ter
x
m pela Eq.(8) e a segunda para determinar y pela Eq.(10).
Nota-se primeiramente, que antes de determinar o fator integrante
x
m pela Eq.(8) é
necessário ter certeza de que a equação diferencial tem exatamente a forma da Eq.(2); em particular o
coeficiente de
\
y deve ser a unidade. De outra forma, a função
x
p usada para o cálculo de
x
m será
incorreta. Em segundo lugar, depois de encontrar
x
m e de multiplicar a Eq.(2) pelo fator integrante é
preciso verificar que os termos envolvendo y e
\
y são, de fato, a derivada de
x
m como devem ser.
Esta verificação proporciona certeza sobre a correção de
x
m. Como é natural, uma vez que se tenha
encontrado a solução y , é possível também verificar a sua correção, substituindo-a na equação
diferencial.
A interpretação geométrica da Eq. (10) é a de uma família de curvas, uma para cada valor de c
.
Estas curvas são as curvas integrais da equação diferencial. Muitas vezes é importante selecionar um
membro da família de curvas integrais, o que faz pela identificação de um ponto particular
0 0
x , y
contido no gráfico da solução. Esta exigência se escreve, usualmente, como
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
E-56.
t
t y t y e
3 \ 2
1
y E-57. ty t 1 y t
\
,
ln 2
y
Respostas
R - 38
t t
t
e Ce
t
y
2 3
R - 39
t
t
t
Ce
t e
y
2
3 2
R - 40
t
t t
t
Ce
te e
y
2 2
R - 41
t
t
t
y sen t
t
cos 2
R - 42
t t
t
y e Ce
2
R - 43
2 2
cos
t
sen t
t
t
t
y
t
R - 44
t
t
e
t C
y
2
3
R - 45
2
2
1 t
arctgt C
y
t
R - 46
2
t
t
e
y t
R - 47
y te te Ct
t t
t
2
R - 48
t t t
t
y te e Ce
2 2 3
R - 49
t
t
te
t
y t
R - 50
R - 51
R - 52
R - 53
R - 54
R - 55
R - 56
R - 57
2.3 – Discussão sobre as Equações Lineares
Já foi visto que achar soluções dos problemas de valor inicial, com equações lineares de primeira
ordem, é possível mediante o fator integrante para transformar a equação diferencial numa forma
integrável. Agora vamos analisar algumas questões de natureza geral que são:
a) Os problemas de valor inicial mencionados têm sempre uma solução?
b) Podem ter mais de uma solução?
c) A solução vale para todos os t , ou somente para um intervalo restrito nas vizinhanças do ponto
inicial?
Teorema : Se as funções p
e q
são contínuas num intervalo aberto I : t , que contém o
ponto
0
t t , então existe uma única função
t
y que satisfaz à equação diferencial
t t
y p y q
\
para cada t em I e que também satisfaz à condição inicial
0 0
y y
t
, onde
0
y é
um valor inicial arbitrário.
O teorema afirma que dado um problema de valor inicial tem uma solução e também que a
problema tem somente uma solução. Em outra palavras, teorema assegura a existência e a unicidade da
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
solução do problema de valor inicial
t t
y p y q
\
e
0 0
y y
t
. Além disso, o teorema afirma que
a solução existe em algum intervalo
que contenha o ponto inicial
0
t , no qual os coeficientes p e q
sejam contínuos. Isto é, a solução pode ser descontínua ou pode não existir, somente nos pontos onde
pelo menos uma das funções p e q seja descontínua. Estes pontos podem ser identificados, muitas
vezes, por simples inspeção.
Exemplo
Ex.- 11 Determine o intervalo no qual o problema de valor inicial
\ 2
ty 2 y 4 t e
1
y , tem uma
solução única. Determine essa solução.
Ex.- 12 Achar a solução do problema de valor inicial 2 1
\
y ty e
0
y .
Obs.:
t
s
t
ref e ds
0
2 2
é a função erro, que foi extensamente tabelada e é considerada
uma função conhecida, dado um valor t , podem consultar uma tabela de valores de função erro,
ou então lançar mão de um procedimento numérico.
A seguir temos algumas das mais importantes propriedades das equações diferenciais lineares
de primeira ordem e respectivas soluções.
a) Há uma solução geral, com uma constante arbitrária, que inclui todas as soluções da equação
diferencial. Uma solução particular, que satisfaz a uma certa condição inicial, pode ser
determinada pela escolha conveniente do valor da constante arbitrária.
b) Há uma expressão fechada para a solução, a equação
x
x x
m
m q dx c
y
ou a equação
x
t
t
s s
m
m q ds y
y
0
0
. Além disso, embora a expressão envolva duas integrações, é uma
solução explícita para
t
y e não uma equação defina implicitamente.
c) Os possíveis pontos de descontinuidade, ou singularidades, da solução podem ser identificados
(sem a resolução do problema) pela determinação dos pontos de descontinuidade dos
coeficientes. Assim, se os coeficientes forem contínuos para todos os t , então a solução
também existe e é contínua para todos os t
Exercício
Achar a solução geral da equação diferencial:
E-58. y t
t
y sen
\
, t 0 E-59.
t
t
t y ty
sen
2 \
, t 0
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Capítulo 3 – Equações Lineares de Segunda Ordem
3.1 Equações Homogêneas com os Coeficientes Constantes
Uma equação diferencial ordinária de segunda ordem tem a forma
dt
dy
t y
f
dt
d y
, ,
2
2
, onde f é
uma função conhecida. Dizemos que esta equação é linear quando a função f é linear em y e suas
derivadas, isto é, quando
q y
dt
dy
f g p
t t t
dt
dy
t y
,,
. Neste caso a equação fica
t t t
y p y q y g
\ \ \
. Uma equação diferencial linear de segunda ordem é homogênea se o termo
t
g
for nulo para todo t
.
Vamos dirigir a atenção para as equações nas quais as funções P , Q e R são constantes. Neste
caso a equação fica 0
\ \
ay by cy .
A equação 0
2
ar br cr é a equação característica da equação diferencial
\ \
ay by cy ,
r t rt
y ce ce
1 2
1 2
é uma solução esta equação diferencial.
Exemplo
Ex.- 13 Achar a solução geral da equação 7 6 0
\ \
y y y .
Ex.- 14 Dado 5 6 0
\ \
y y y ,
0
y e
\
0
y .
a) Ache a solução do problema de valor inicial.
b) Faça o gráfico da função.
c) Determine o ponto crítico.
d) Descreva seu comportamento quando t aumenta indefinidamente.
Ex.- 15 Achar a solução do problema de valor inicial 4 8 3 0
\ \
y y y
,
0
y
e
2
0
y
. Faça o gráfico da
função e determine o ponto crítico. Descreva seu comportamento quando t aumenta.
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Exercícios
Achar a solução geral da equação diferencial proposta:
\ \
y y y
\ \
y y y
\ \
y y y
\ \
y y y
\ \
y y
\ \
y y
\ \
y y y
\ \
y y y
Determine a solução do problema de valor inicial dado. Desenhe o gráfico da solução e descreva
seu comportamento quando t aumenta.
E-70. Corrigir
\ \
y y y ,
0
y e
\
0
y .
\ \
y y y ,
0
y e
\
0
y .
E-73. 3 0
\ \
y y
,
0
y
e
\
0
y
.
\ \
y y y ,
0
y e
\
0
y .
\ \
y y y ,
0
y e
\
0
y
.
\ \
y y y ,
1
y e
\
1
y
.
\
y y ,
2
y e
\
2
y.
\ \
y y y ,
0
y e
\
0
y .
Respostas
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
3.2 – Raízes complexas da equação característica
A equação 0
\ \ \
ay by cy
onde a
, b
e c
são números reais. Se procurarmos
soluções de y como combinação de
rt
2
ar br cr . Se as raízes
1
r e
2
1
2
i t
t
y e
1
e
i t
t
y e
2
.
Pelo cálculo direto, podemos mostrar que o wronskiano de
e
é
t
uv t
W e
2
,
Assim, desde que 0 , o wronskiano W não é zero, e assim u e v formam um conjunto
fundamental de soluções. Portanto, se as raízes da equação forem números complexos i ,então a
solução geral da equação 0
\ \ \
ay by cy é
y ce t ce sen t
t t
t
1 2
cos , onde
1
c e
2
c são constantes arbitrárias.
Se 0 a função
t
y é decrescente, se 0 a função
t
y é crescente e se 0 a
função
t
y oscila de forma permanente.
Exemplo
Ex.- 16 Achar a solução geral de 0
\ \
y y y .
Ex.- 17 Achar a solução geral de 9 0
\ \
y y
.
Ex.- 18 Achar a solução do problema de valor inicial 16 8 145 0
\ \
y y y
0
y e
\
0
y .
Exercícios
Achar a solução geral da equação diferencial:
\ \
y y y
\ \
y y y
\ \
y y y
\ \
y y y
\ \
y y y
\
y y
\ \
y y y
\ \
y y y
\ \
y y y
\ \
y y y
CÁLCULO IV – EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
Achar a solução do problema de valor inicial proposto:
\ \
y y ,
0
y e
\
0
y
\ \
y y y ,
0
y e
\
0
y
\ \
y y y , 0
2
y e 2
\
2
y
\ \
y y , 2
3
y e 4
\
3
y
\ \
y y y ,
0
y e
\
0
y
\ \
y y y , 2
4
y e 2
\
4
y
Respostas
R - 79
y ce t cesen t
t t
t 1 2
cos
R - 80
y ce t cesen t
t t
t
cos 5 5
1 2
R - 81
y ce t ce sen t
t t
t
cos 7 7
1 2
R - 82
y ce t ce sen t
t t
t
1 2
cos
R - 83
y ce t ce sen t
t t
t
cos 2 2
3
2
3
1
R - 84
cos
1 2
t
c sen
t
y c
t
R - 85
cos
1 2
t
ce sen
t
y c e
t t
t
R - 86
3
4
2
3
1
t t
t
y ce c e
R - 87
y ce t ce sen t
t t
t
2
2
2
1
cos
R - 88
cos
2
2
2
1
t
ce sen
t
y c e
t t
t
R - 89
y sen t
t
a oscilação é estacionária.
R - 90
y e t e sen t
t t
t
2 2
cos 2
a oscilação é amortecida.
