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apostila de calculo 1 com exercícios
Tipologia: Exercícios
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Esta apostila ´e em parte baseada no livro C´alculo Volume I, de Howard Anton, Irl Bivens e Stephen Davis, e ser´a usada ´unica e exclusivamente como nota de aula.
PROFESSORA: Katia Arcaro
E-mail: katia.arcaro@caxias.ifrs.edu.br
Muitas leis cient´ıficas e muitos princ´ıpios de Engenharia s˜ao descritos como uma quantidade dependente de outra. Em 1673, essa ideia foi formalizada por Leibniz, que cunhou o termo fun¸c˜ao para indicar a dependˆencia de uma quantidade em rela¸c˜ao `a outra. Assim:
Defini¸c˜ao: 1.1 Se uma vari´avel y depende de uma vari´avel x de tal modo que cada valor de x determina exatamente um valor de y, ent˜ao dizemos que y ´e uma fun¸c˜ao de x.
A vari´avel x ´e denominada vari´avel independente, podendo assumir qualquer valor em um certo conjunto de n´umeros denominado dom´ınio. Para cada valor de x no dom´ınio de f , o valor correspondente de y ´e denotado por f (x), tal que y = f (x), onde a vari´avel y ´e denominada vari´avel dependente. O conjunto de valores assumidos por y `a medida que x varia no dom´ınio ´e denominado imagem de f. Uma fun¸c˜ao f de R em R ´e uma rela¸c˜ao que associa um e somente um valor real da vari´avel f (x) para cada valor da vari´avel x.
Ex.: 1.1 Suponhamos que certa mercadoria esteja sendo vendida a R$ 2,00 o quilo. Ent˜ao, x quilos dessa mercadoria custar˜ao 2 x reais. Denotando com a letra p o pre¸co desses x quilos, tem-se que p = 2x. Neste caso, tem-se as grandezas x e p relacionadas entre si. Diz-se que p ´e uma fun¸c˜ao de x porque a cada valor de x corresponde um ´unico valor de p.
Os zeros de uma fun¸c˜ao real s˜ao as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao f (x) = 0, isto ´e, s˜ao os valores de x tais que f (x) = 0.
Ao se determinarem os zeros de uma fun¸c˜ao, est´a-se definindo onde ocorrem as interse¸c˜oes com o eixo horizontal. Um a fun¸c˜ao pode n˜ao ter zeros, pode ter apenas um zero ou, ainda, pode ter muitos zeros.
Para identificarmos onde ocorre a interse¸c˜ao com o eixo vertical, basta calcularmos o valor da ordenada do ponto quando x = 0, ou seja, y = f (0). Para as fun¸c˜oes mais usadas, exceto a fun¸c˜ao logar´ıtmica, cujo dom´ınio s˜ao os reais maiores que zero (R∗ +), pode-se dizer que seus dom´ınios s˜ao sempre os reais, EXCETO:
Ex.: 1.2 f (x) =
2 x 2 x + 4
. Como o denominador sempre ´e diferente de zero: 2 x + 4 6 = 0 e, portanto, x 6 = − 2. Logo, Dom = R − {− 2 }.
Ex.: 1.3 f (x) =
2 x + 4. Como n˜ao h´a, nos reais, raiz quadrada de valor negativo, x fica restrito a valores que tornem positivo (ou igual a zero) o radicando: 2 x + 4 ≥ 0 , logo, x ≥ − 2. Portanto, Dom = {x ∈ R/x ≥ − 2 }.
Ex.: 1.4 f (x) =
2 x √ 2 x + 4
. Como denominador n˜ao pode ser igual a zero e o radicando precisa ser positivo: 2 x + 4 > 0 , logo, x > − 2. Portanto, Dom = {x ∈ R/x > − 2 }.
1.4.1 Gabarito
O conceito de limite ´e o alicerce sobre o qual todos os outros conceitos do c´alculo est˜ao baseados. Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado.
Ex.: 2.1 a) Injetando ininterruptamente ar em um bal˜ao de borracha, haver´a um momento em que ele estoura. Isso porque existe um limite de elasticidade da borracha. b) Um engenheiro ao construir um elevador estabelece o limite de carga que este suporta. c) No lan¸camento de um foguete, os cientistas devem estabelecer um limite m´ınimo de combust´ıvel ne- cess´ario para que a aeronave entre em ´orbita.
E importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca ´^ ´ e atingido, mas do qual se pode aproximar tanto quanto desejar. Iniciaremos por estud´a-lo de uma forma intuitiva. Para ilustrar este conceito, seguem alguns exemplos:
Ex.: 2.2 Suponha que vocˆe quer saber o que acontece com a fun¸c˜ao f (x) =
x^2 − 1 x − 1
, x 6 = 1, `a medida que x
se aproxima de 1. Embora f (x) n˜ao esteja definida em x = 1, vocˆe pode obter uma boa ideia da situa¸c˜ao avaliando f (x) em valores de x cada vez mais pr´oximos de 1, tanto a esquerda quantoa direita. Isto pode ser feito usando uma tabela de valores.
x f (x) 0,9 1, 0,99 1, 0,999 1, 0,9999 1,
Conclui-se que, para valores pr´oximos de 1, `a sua esquerda, f (x) se aproxima do n´umero 2 e escreve-se: lim x→ 1 −^
f (x) = 2
lendo: “o limite de f (x) quando x tende a 1 pela esquerda ´e 2”. Deste modo, diz-se que 2 ´e o limite lateral a esquerda. De forma an´aloga, investiga-se o limitea direita: x f (x) 1,1 2, 1,01 2, 1,001 2, 1,0001 2,
Conclui-se que, para valores pr´oximos de 1, `a sua direita, f (x) se aproxima do n´umero 2 e escreve-se: lim x→ 1 +^
f (x) = 2
lendo: “o limite de f (x) quando x tende a 1 pela direita ´e 2”. Deste modo, diz-se que 2 ´e o limite lateral `a direita.
Como os limites laterais s˜ao iguais, pode-se dizer que o limite bilateral existe e ´e dado por
x^ lim→ 1 f^ (x) = 2
Ex.: 2.3 Dada a fun¸c˜ao f (x) = x^2 + 1, fa¸ca um esbo¸co do gr´afico e analise o limite da fun¸c˜ao quando x aproxima-se de 0. limx→ 0 +^ x^2 + 1 = 1, limx→ 0 −^ x^2 + 1 = 1 e, portanto, limx→ 0 x^2 + 1 = 1
Defini¸c˜ao: 2.1 Se f (x) se torna arbitrariamente pr´oxima de um n´umero L `a medida que x se aproxima de um n´umero c pela esquerda e pela direita, diz-se que o limite de f (x) quando x tende a c ´e L e, nesse caso, escreve-se
x^ lim→c f^ (x) =^ L
Conclui-se que:
Analisando o gr´afico de g(x) = x^3 percebe-se que, a medida que os valores de x decrescem de forma ilimitada, a fun¸c˜ao g decresce;a medida que os valores de x crescem de forma ilimitada, a fun¸c˜ao g cresce. Conclui-se, ent˜ao, que lim x→−∞
x^3 = −∞ e lim x→+∞
x^3 = +∞
Se os valores de f (x) decrescem sem limita¸c˜ao quando x → +∞ ou x → −∞, escreve-se
x→−∞lim f^ (x) =^ −∞^ ou^ x→lim+∞ f^ (x) =^ −∞ Se os valores de f (x) crescem sem limita¸c˜ao quando x → +∞ ou x → −∞, escreve-se
x→−∞lim f^ (x) = +∞^ ou^ x→lim+∞ f^ (x) = +∞
Defini¸c˜ao: 2.2 Uma fun¸c˜ao da forma f (x) = xn, onde n ´e constante, ´e chamada de fun¸c˜ao potˆencia. Na defini¸c˜ao de uma fun¸c˜ao potˆencia, pode-se ter uma constante de proporcionalidade k. Assim, a fun¸c˜ao potˆencia assume a forma f (x) = kxn
Ex.: 2.5 f (x) = 2x^2 , f (x) = −^13 x^5 , f (x) = x−^2 , f (x) = x
(^12)
Quando n = 0, n = 1 ou n = 2, tem-se situa¸c˜oes particulares j´a estudadas que s˜ao as fun¸c˜oes constantes, fun¸c˜oes de 1o^ grau e quadr´aticas, respectivamente. Para outros valores de n, o gr´afico varia de acordo com a natureza de n. Podem-se considerar os seguintes casos:
(a) n ´ımpar: Considere as fun¸c˜oes f (x) = x, g(x) = x^3 , h(x) = x^5 (k = 1, portanto, k > 0) cujos gr´aficos apresentam-se a esquerda, e as fun¸c˜oes f (x) = −x, g(x) = −x^3 , h(x) = −x^5 (k = −1, portanto, k < 0) cujos gr´aficos apresentam-sea direita.
(b) n par: Considere as fun¸c˜oes f (x) = x^2 , g(x) = x^4 , h(x) = x^6 (k = 1, portanto, k > 0) cujos gr´aficos apresentam-se a esquerda, e as fun¸c˜oes f (x) = −x^2 , g(x) = −x^4 , h(x) = −x^6 (k = −1, portanto, k < 0) cujos gr´aficos apresentam-sea direita.
(a) n ´ımpar: Dom = R. Considere as fun¸c˜oes f (x) = x
(^13) = 3
x e g(x) = x
(^15) = 5
x (k = 1, portanto, k > 0) cujos gr´aficos apresentam-se `a esquerda, e as fun¸c˜oes f (x) = −x
(^13) = − 3
x e g(x) = −x
(^15) = − 5
x (k = −1, portanto, k < 0) cujos gr´aficos apresentam-se `a direita.
(b) n par: Dom = R+. Considere as fun¸c˜oes f (x) = x
(^12) = 2
x e g(x) = x
(^14) = 4
x (k = 1, portanto, k > 0) cujos gr´aficos apresentam-se `a esquerda, e as fun¸c˜oes f (x) = −x
(^12) = − 2
x e g(x) = −x
(^14) = − 4
x (k = −1, portanto, k < 0) cujos gr´aficos apresentam-se `a direita.
|x| x
1 , se x > 0 − 1 , se x < 0 , cujo gr´afico encontra-se ao lado, analise: (a) lim x→ 0 +^
f (x) =
(b) lim x→ 0 −^
f (x) =
(c) lim x→ 0 f (x) =
(d) f (0) =
x + 2, se x ≤ − 1 x^2 , se − 1 < x < 2 5 , se x ≥ 2
, represen-
tada graficamente ao lado, e analise: (a) lim x→− 1 +^
f (x) =
(b) lim x→− 1 −^
f (x) =
(c) lim x→− 1
f (x) =
(d) f (−1) =
(e) lim x→ 2 +^
f (x) =
(f) lim x→ 2 −^
f (x) =
(g) lim x→ 2 f (x) =
(h) f (2) =
(i) (^) x→−∞lim f (x) =
(j) (^) x→lim+∞ f (x) =
2.6.1 Gabarito
3.1.1 Gabarito
Uma fun¸c˜ao polinomial de grau n ´e da forma f (x) = anxn^ + an− 1 xn−^1 + ... + a 2 x^2 + a 1 x + a 0 , onde x ´e a vari´avel independente, n ∈ N, e a 1 , a 2 , ..., an s˜ao constantes reais.
Ex.: 3.1 f (x) = 2x^3 + 5x^2 − 5 , g(x) = 35 x^2 − (^13)
Dentre os assuntos j´a estudados, foi visto que o gr´afico de uma fun¸c˜ao pode ser descrito como uma curva cont´ınua se n˜ao apresentar “quebras”ou “buracos”. Tais caracter´ısticas est˜ao presentes nas fun¸c˜oes polinomiais. Por esse motivo, s˜ao cont´ınuas em toda parte. Quando a fun¸c˜ao ´e cont´ınua, ´e poss´ıvel calcular o limite diretamente pelo c´alculo alg´ebrico.
Considere a fun¸c˜ao f (x) = x^2 − x − 6, representada graficamente ao lado. A partir do gr´afico e da lei da fun¸c˜ao vˆe-se que: (a) f (4) = 4^2 − 4 − 6 = 6 (b) lim x→ 4 −^
f (x) = 6 (c) lim x→ 4 +^
f (x) = 6 (d) lim x→ 4 f (x) = 6
Como a fun¸c˜ao f ´e polinomial, pode-se calcular o limite para qualquer valor de x, substituindo-o na fun¸c˜ao. Assim, lim x→ 4 f (x) = 4^2 − 4 − 6 = 6.
Uma fun¸c˜ao polinomial comporta-se como o seu termo de maior grau, quando x → +∞ ou x → −∞. Dependendo do sinal do coeficiente k de xn^ e do grau n do polinˆomio, esse limite ser´a −∞ ou +∞. Retomando a fun¸c˜ao f (x) = x^2 − x − 6, tem-se que:
x→lim+∞ x^2 −^ x^ −^ 6 =^ x→lim+∞ x^2 = +∞^ e^ x→−∞lim x^2 −^ x^ −^ 6 =^ x→−∞lim x^2 = +∞
Ex.: 3.3 Na fun¸c˜ao f (x) =
x^2 + 2x x^2 − 1
, a qual est´a graficamente representada abaixo, vˆe-se que x = − 1 e x = 1 s˜ao ass´ıntotas verticais (s˜ao zeros de h(x) mas n˜ao s˜ao zeros de g(x)):
Ex.: 3.4 Em f (x) =
x^2 − 4 x − 2
, verifica-se que x = 2 anula tanto o denominador quanto o numerador. Ou seja: x − 2 e x^2 − 4 s˜ao divis´ıveis por x − 2. Sendo assim, para o c´alculo do limite quando x → 2 , primeiramente deve-se eliminar a indetermina¸c˜ao:
lim x→ 2
x^2 − 4 x − 2
= lim x→ 2
(x − 2)(x + 2) x − 2
= lim x→ 2
(x + 2) = 2 + 2 = 4
Mas cuidado! Embora pˆode-se calcular o limite em x = 2 ap´os a indetermina¸c˜ao ser eliminada, a fun¸c˜ao continua sendo descont´ınua neste ponto, j´a que n˜ao est´a definida nele.
3.5.1 Limites no Infinito de uma Fun¸c˜ao Racional
Em algumas fun¸c˜oes racionais, ao fazermos x → −∞ ou x → +∞, pode ser que os valores de f (x) tendam a uma constante k; ou seja, o gr´afico da fun¸c˜ao aproxima-se indefinidamente de uma reta horizontal y = k quando x → +∞ ou x → −∞. Diz-se que uma fun¸c˜ao tem uma ass´ıntota horizontal em y = k quando (^) x→lim+∞ f (x) = k e/ou (^) x→−∞lim f (x) = k.
Para fazer a an´alise desses limites leva-se em considera¸c˜ao que uma fun¸c˜ao racional comporta-se como a raz˜ao entre os termos de maior grau, no numerador e no denominador, quando x → +∞ ou x → −∞. Ex.: 3.5 Observemos e analisemos a fun¸c˜ao f (x) =
x^2 − 1 x^2 + 1
, cujo gr´afico est´a representado ao lado. Neste caso, pode-se verificar que a ass´ıntota horizontal est´a em y = 1, j´a que
lim x→−∞
x^2 − 1 x^2 + 1
= lim x→−∞
x^2 x^2
= lim x→−∞
1 = 1 e
lim x→+∞
x^2 − 1 x^2 + 1
= lim x→+∞
x^2 x^2
= lim x→+∞
Basicamente podem ocorrer trˆes situa¸c˜oes na an´alise de limites no infinito de uma fun¸c˜ao racional
f (x) =
g(x) h(x)
Ex.: 3.6 (^) x→lim+∞
2 x^3 − 5 x + 1
= (^) x→lim+∞
2 x^3 x
= (^) x→lim+∞ 2 x^2 = +∞
x→^ lim+∞
− 4 x^3 − 5 2 x + 1
= (^) x→lim+∞
− 4 x^3 2 x
= (^) x→lim+∞ − 2 x^2 = −∞
x^2 − 1 x − 1
, x 6 = 1, analise o comportamento de f para valores pr´oximos de x = 1: a) lim x→ 1 +^
f (x) = b) lim x→ 1 −^
f (x) = c) lim x→ 1 f (x) =
x^2 − 9 x^2 − 5 x + 6
? Em qual deles ocorre ass´ıntota vertical?
x^3 + 2x^2 − 1 5 − 3 x
3.6.1 Gabarito
Ex.: 3.
Ex.: 3.
3.8.1 Gabarito
3 2 21)^ √^1 6 22)^
