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Um resumo de um curso de engenharia elétrica sobre os princípios fundamentais da amostragem e aplicação da transformada z. O texto aborda a importância de amostragem e reconstrução de sinais contínuos em sistemas digitais, introduzindo os conceitos de amostrador e retentor. Além disso, o documento discute a transformada z e seus usos em sistemas de tempo discreto, incluindo a conversão de sinais contínuos para discretos e aplicação do método de laplace. O texto também inclui exemplos práticos utilizando o software matlab.
O que você vai aprender
Tipologia: Trabalhos
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FUNDAÇÃO UNIVERSIDADE REGIONAL DE BLUMENAU DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E TELECOMUNICAÇÕES CENTRO DE CIÊNCIAS TECNÓLOGICAS CURSO: ENGENHARIA ELÉTRICA PRINCIPIOS FUNDAMENTAIS, AMOSTRAGEM E APLICAÇÕES DA TRANSFORMADA Z RODRIGO DE OLIVEIRA SANTIAGO MORINI VALMIR ROGERIO GREGIO ELÉSIO PEREIRA BLUMENAU 2020
2 Transformada Z mais utilizadas....................................................................... 16 3 Propriedade das transformas Z.................................................................................................. 18
Transformada Z e Sistemas de Tempo Discreto
Figura 3: Processo de formação de sinais discretos O sinal de tempo discreto, obtido a partir de um contínuo, pode ser representado como uma sequência de impulsos com amplitudes iguais à do sinal de tempo contínuo nos instantes de amostragem. O sinal resultante é definido por: Aplicando a Transformada de Laplace ao sinal amostrado e fazendo a mudança de variável teremos: Equação 1: Definição da Transformada Z do sinal contínuo u(t) Como método de simplificação no auxílio do cálculo, são utilizadas tabelas como a de transformada Z e suas propriedades apresentadas abaixo:
Tabela 1: Tabela para Transformada Z mais utilizadas
1.3. Transformada Z inversa A transformada Z inversa permite obter x(k) de X(z). Pode ser obtida por qualquer um dos métodos descritos nas secções seguintes. 1.3.1. Expansão em fracções parciais Para aplicar este método é necessário que a transformada dos Z seja uma função racional variável complexa Z. Verifica-se que a generalidade das transformadas apresentadas na tabela 1 apresenta o fator z no numerador. Assim, torna-se conveniente expandir X(z)/z e não apenas X(z) para que seja mais fácil a obtenção de transformadas tabeladas. Exemplo 1:Considere a transformada Z: Expandido em frações parciais teremos: Utilizando a tabela de transformadas Z obtemos:
Exemplo 2: Considere a seguinte transformada Z que não apresenta o fator z no numerador: Multiplicando e dividindo por z obtémos: Expandido em frações parciais encontramos: Aplicando a transforma Z inversa: 1.3.2. Divisão por polinómios Para aplicar o método, também é necessário que a transformada Z seja uma função racional. Dividindo os polinómios obtém-se uma série. Os coeficientes de Z na série, são os valores de x(k) na sequência temporal. Exemplo 3: Considere a transformada Z abaixo:
Por um conceito geral, um sistema dinâmico linear em tempo discreto com entrada u(k) e saída y(k) pode ser descrito por uma equação diferencial linear: Equação 2: Equação diferencial genérica Aplicando a propriedade de deslocamento no tempo da transformada Z, esta é convertida numa equação algébrica em Z. A aplicação do método da transformada Z está para as equações diferenciais bem a transformada de Laplace. Exemplo 4: Considerando a seguinte equação diferencial: Aplicando o método da transformada dos Z à equação obtém- se: Substituindo as condições iniciais y(0) = 0, y(1) =1: Aplicando a transformada, temos:
Resolvendo para k=0, 1, 2, 3, 4, …
2. Uso do MATLAB na Análise de Sistemas de Tempo Discreto 2.1 Amostragem e reconstrução de sinais contínuos Será realizado a simulação de uma amostra para um sinal contínuo através de impulsos e produzir um sinal discreto e verificar o impacto que diferentes períodos de amostragem têm na reconstrução do sinal contínuo com base no correspondente sinal discreto. Exemplo 5: Considere o sinal contínuo da Equação 3, ilustrado na Figura 4, para Equação 3: Modelo sinal contínuo Sinal contínuo escrito no MATLAB para a função x(t)
Figura 6: Sobreposição do sinal original com a versão amostrada em 50Hz Com o uso do MATLAB permite simular a reconstrução de um sinal contínuo através de um retentor de ordem zero com base num conjunto de valores discretos. Usando esta função para obter a reconstrução do sinal anteriormente amostrado, obtemos o seguinte gráfico:
Figura 7: Sobreposição do sinal original com a versão reconstruída ( fs 1=50Hz) Repetindo os dois pontos anteriores (6. e 7.) de forma a obter as reconstruções do sinal x ( t ) amostrado às frequências fs 2=25 Hz e fs 3=11 Hz. O resultado para cada uma das frequências é ilustrado nas Figuras 8 e 9. Figura 8: Sobreposição do sinal original com a versão reconstruída ( fs 2=25Hz)
Figura 10: Conversão de um sistema contínuo em discreto Exemplo 7: Utilizando a resposta transitória do sistema discreto descrito pela função de transferência abaixo, obtemos a resposta ao degrau de amplitude: Inserimos os parâmetros de entrada os vetores com os coeficientes do numerador (numD) e denominador (denD) da função de transferência e o número de pontos (N) a considerar no cálculo. Determinando o valor de N=51, obtemos os valores da resposta do sistema a uma entrada em degrau unitário.
Figura 11: Resposta ao degrau unitário da função de transferência discreta c) Após obter a reposta ao impulso unitário, é apresentado (Figura 12). Figura 12: Resposta ao impulso unitário da função de transferência discreta 2.3. Transformada Z inversa
