UNIVERSIDADE ZAMBEZE
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
3º ANO – 1º SEMESTRE – LABORAL
TEORIA DAS ESTRUTURAS
LINHAS DE INFLUÊNCIA
BEIRA, MAIO DE 2024
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Análise estrutural com linhas de influência: de vigas Gerber a estruturas hiperestáticas, Esquemas de Arquitetura
Este trabalho explora o uso de linhas de influência na análise estrutural, crucial para entender a resposta de estruturas a cargas móveis. Analisa-se as vigas gerber e estruturas hiperestáticas, detalhando a determinação das linhas de influência para reações de apoio, esforços transversos e momentos fletores, além das ordenadas das linhas de influência. Discute-se a representação esquemática das linhas de influência envoltórias de esforços, incluindo trem-tipo e esforço transverso, destacando a aplicação prática dessas linhas na engenharia estrutural. O estudo das linhas de influência é essencial na engenharia civil para analisar como estruturas reagem a cargas móveis, proporcionando uma ferramenta vital para a análise e projeto de estruturas seguras e eficientes.
Tipologia: Esquemas
2023
1 / 23
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UNIVERSIDADE ZAMBEZE
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
3º ANO – 1º SEMESTRE – LABORAL
TEORIA DAS ESTRUTURAS
LINHAS DE INFLUÊNCIA
BEIRA, MAIO DE 2024
ANASTÁCIO BIÉ JÚNIOR
BETO ALBERTO DEMBELE JÚNIOR
EDNYLSON MANUEL DAUCE NEITO
FERNANDO BERNARDO MUNJOVO
FERNANDO PAULO SIMANGO
GLENNY ANDRÉ BAILA
OLVAN MARIA CARMO
PEDRO HORÁCIO FÉLIX
SAHIBI SIMÃO AQUIDA
LINHAS DE INFLUÊNCIA
LICENCIATURA EM ENGENHARIA CIVIL
Trabalho de Teoria das Estruturas, de carácter avaliativo na Universidade Zambeze – Faculdade de Ciências e Tecnologia
DOCENTE: ENGº FRANCISCO ARAÚJO
BEIRA, MAIO DE 2024
ÍNDICE
- I. INTRODUÇÃO
- 1.1. Objectivos....................................................................................................................
- 1.1.1. Objectivo Geral
- 1.1.2. Objectivos Específicos
- 1.1. Objectivos....................................................................................................................
- II. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
- 2.1. LINHA DE INFLUÊNCIA (L.I.)
- 2.1.1. Linha de influência para uma viga biapoiada (isostática)
- a) Método de equilíbrio convencional
- b) Método cinemático para o traçado das LI
- 2.1.1.1. Linha de Influência das reacções de apoio na viga
- 2.1.1.2. Linha de Influência de esforço transverso na viga
- 2.1.1.3. Linha de Influencia do momento flector na viga
- 2.1.2. Linha de Influência DE VIGAS GERBER
- (hiperestáticas) 2.1.3. Linha de influência para estruturas com vários graus de indeterminação
- 2.1.3.1. Determinação da LI das reações de apoio para vigas hiperestáticas
- 2.1.3.2. Determinação da LI de esforço transverso para vigas hiperestáticas
- 2.1.4. Determinação das ordenadas de LI de uma viga hiperestática
- 2.1.4.1. Representação esquemática das LI’s. Envoltória de Esforços
- 2.1.4.2. Representação esquemática das forças. Trem-tipo
- 2.1.4.3. Representação gráfica do esforço transverso
- 2.1.1. Linha de influência para uma viga biapoiada (isostática)
- 2.1. LINHA DE INFLUÊNCIA (L.I.)
- III. CONCLUSÃO
- IV. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS..........................................................................
ÍNDICE DE FIGURAS
Figura 1: Linha de influência de momento flector na secção S de uma viga ........................... 7 Figura 2: Linhas de Influência de reações de apoio em uma viga biapoiada ............................ 8 Figura 3: Linhas de Influência de esforço transverso e momento flector em uma secção da viga biapoiada ............................................................................................................................ 9 Figura 4: Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de reacção de apoio de uma viga biapoiada .......................................................................................................................... 11 Figura 5: Retirada do vínculo de cortante e aplicação de deslocamento unitário .................... 12 Figura 6: Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de esforço transverso em uma secção de uma viga biapoiada. ................................................................................................. 12 Figura 7: Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de momento flector em uma secção de uma viga biapoiada. ................................................................................................. 13 Figura 8: Cadeia cinemática para L.I. de QBesq. ....................................................................... 14 Figura 9: Aplicação do Teorema de Betti a duas vigas contínuas ........................................... 15 Figura 10: Linhas de influência de reações de apoio verticais para uma viga contínua .......... 16 Figura 11: Linhas de influência de esforço transverso para uma viga contínua hiperestática. 17 Figura 12: Linha de influência de momentos flectores para uma viga contínua hiperestática 18 Figura 13: Viga hiperestática e superposição de efeitos .......................................................... 18 Figura 14: Posicionamento da carga móvel ............................................................................. 20 Figura 15Trem-tipo .................................................................................................................. 20
II. REVISÃO BIBLIOGRÁFICA
2.1. LINHA DE INFLUÊNCIA (L.I.)
Linha de influência é a curva de variação de uma reação de apoio ou de um esforço solicitante em uma determinada seção, quando uma carga concentrada unitária se desloca ao longo da estrutura.
A linha de influência (L.I.) é um diagrama traçado para um esforço em uma determinada seção, e a carga unitária pode tomar qualquer posição na estrutura.
Uma linha de influência representa a variação de um determinado efeito elástico (por exemplo, uma reação de apoio, um esforço cortante (transverso) ou um momento flector) em uma secção específica da estrutura à medida que uma carga concentrada unitária a percorre. A linha de influência é construída sobre o eixo da estrutura sendo que as abscissas representam as posições da carga móvel e as ordenadas representam os respectivos valores do esforço considerado.
Por exemplo, consideremos a linha de influência (LI) de momento flector em uma secção S de uma viga, representada na figura abaixo.
Quando a carga unitária estiver localizada no ponto , a uma distância x da extremidade esquerda da viga, o momento flector na secção S será dado pela ordenada da linha de influência no ponto A, ou seja,.
Uma vez conhecida a linha de influência de um determinado esforço para uma secção específica, percebe-se facilmente que a posição mais desfavorável da carga unitária é aquela que apresenta a maior ordenada da linha de influência. Assim, se podem definir os valores extremos (maior valor positivo e maior valor negativo) dos esforços provocados pela carga móvel unitária, que são as ordenadas da linha de influência com maiores valores positivo e negativo. As linhas de influência podem ser traçadas para diversos tipos de estrutura, como
Figura 1 : Linha de influência de momento flector na secção S de uma viga
vigas, pórticos ou treliças, sejam elas isostáticas ou hiperestáticas. Por convenção, desenhar- se-á os valores positivos da linha de influência no lado de baixo, e os valores negativos no lado de cima, conforme representado na Figura anterior.
2.1.1. Linha de influência para uma viga biapoiada (isostática) a) Método de equilíbrio convencional Para determinar as reacções de apoio de uma viga isostática submetida a uma carga móvel, devese, primeiramente, traçar as linhas de influência dessas reacções de apoio. Para tanto, se irá aplicar uma carga unitária P=1 em uma posição variável x e determinar os valores das reacções de apoio em função dessa posição x, utilizando as equações de equilíbrio estático.
Tomando por exemplo a viga biapoiada mostrada na figura abaixo. O equilíbrio de forças vertical e de momentos em relação ao ponto A, por exemplo, determinam os valores das
reações de apoio –^ e. Estas equações nada mais são do que as próprias
expressões analíticas das linhas de influência das reações de apoio, pois expressam a variação de e em função da posição x da carga concentrada unitária.
A imposição directa do equilíbrio também pode ser utilizada para determinar as linhas de influência do esforço transverso e do momento flector em uma secção genérica S da viga biapoiada, tal como mostrado na figura a seguir. Para isso, duas situações são consideradas, uma quando a carga concentrada unitária está à esquerda da secção S e outra quando a carga está à direita:
Figura 2 : Linhas de Influência de reações de apoio em uma viga biapoiada
As dimensões das Linhas de Influência tem que levar em consideração a unidade da carga aplicada. Assim, para reações de apoio, forças normais e forças cortantes, a L. I. é admensional e para momentos fletores a L.I. tem dimensão de comprimento.
Para sistematizar a determinação de L. I de estruturas isostáticas, podemos seguir sempre o roteiro:
1º passo : retira-se o vínculo que transmite o esforço correspondente a L.I. que se quer determinar (incógnita), substituindo-o pelo esforço considerado positivo (nas convenções adotadas).
2º passo : aplica-se um deslocamento virtual unitário, contrário ao sentido da incógnita suposta positiva, compatível com as ligações do sistema. Neste deslocamento apenas a incógnita e a carga móvel P = 1 trabalham.
3º passo : o diagrama contido entre a posição inicial e a posição deslocada é o diagrama de influência procurado. As ordenadas da L. I. são positivas quando estão no sentido da carga móvel (para baixo nos casos usuais).
Como há necessidade de se substituir vínculos por esforços positivos, convém recordar as convenções para os esforços solicitantes e reação que atuam em uma viga horizontal.
M > 0 traciona as fichas inferiores
Q > 0 percorre a seção no sentido horário
N > 0 de tração
Reação > 0 dirigida de baixo para cima no caso de vigas horizontais
2.1.1.1. Linha de Influência das reacções de apoio na viga Seja considerado que a viga biapoiada anterior sofreu um campo de deslocamentos virtuais , conforme indicado abaixo, onde o apoio da esquerda é deslocado virtualmente para baixo de uma unidade de distância. Como a viga biapoiada é isostática, o movimento do apoio vai impor um deslocamento de corpo rígido para a viga, isto é, a viga permanece reta e não existem deformações internas. Como previamente dito, deve-se observar que, por uma questão de consistência com a convenção adoptada para o traçado de LI’s, está sendo
considerado como positivo um deslocamento transversal para baixo, e negativo para cima.
O PDV diz que o trabalho virtual produzido pelas forças externas (reais) da estrutura pelos correspondentes deslocamentos externos virtuais é igual à energia de deformação interna virtual, que no caso é nula (não existem deformações internas virtuais). Portanto, o trabalho
virtual das forças externas é nulo, isto é: – ⇒
-. (MARTHA, 2010)
Para traçar a linha de influência de um determinado efeito (como uma reacção de apoio ou um esforço solicitante), basta seguir o procedimento apresentado a seguir:
- Retirar o vínculo que transmite o efeito cuja linha de influência se deseja determinar.
- Aplicar, no ponto em que actua o efeito analisado, um deslocamento unitário (considerado muito pequeno) no sentido contrário ao da convenção positiva do efeito analisado.
- A linha de influência será a configuração deslocada da viga.
2.1.1.2. Linha de Influência de esforço transverso na viga As linhas de influência do esforço transverso em uma secção S da viga biapoiada também podem ser determinadas pelo PDV.
O primeiro passo do método cinemático é a retirada do vínculo que transmite o efeito analisado. No caso da linha de influência da reacção de apoio, foi retirado o vínculo que transmite a reacção de apoio vertical, foi retirada a vinculação que impede o apoio A de deslocar verticalmente. Agora, para traçar a linha de influência de esforço transverso, deve-se
Figura 4 : Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de reacção de apoio de uma viga biapoiada
(MARTHA, 2010) mostra que a aplicação do PDV à estrutura da figura acima resulta em:
à esquerda de : – – – – ⇒ –
à direita de : – – –
- ⇒ –
2.1.1.3. Linha de Influencia do momento flector na viga Seguindo os preceitos de (VIEIRA & TORRES, 2018), para traçar a linha de influência de momento flector, deve-se retirar o vínculo que transmite o momento flector, ou seja, o vínculo que impede o giro relativo entre duas partes de uma viga. Com a retirada desse vínculo em uma secção S qualquer, a viga pode apresentar o deslocamento relativo a figura abaixo.
A seguir, aplica-se um giro unitário relativo entre os dois trechos, ou seja, , com sentido contrário a convenção de momento flector positivo. Ou seja, no trecho a esquerda da secção analisada, aplica-se um giro horário, e no trecho a direita da secção analisada, aplica- se um giro anti-horário. Nesta secção (consideram-se pequenos deslocamentos, isto é, um arco de círculo é aproximado por sua corda).
Aplicando o PDV à estrutura da figura acima, obtém-se:
à esquerda de :
Figura 7 : Campo de deslocamentos virtuais para determinar LI de momento flector em uma secção de uma viga biapoiada.
à direita de
- – – – ⇒ –
Isso resulta nas mesmas expressões para LIMS obtidas anteriormente.
2.1.2. Linha de Influência DE VIGAS GERBER Viga Gerber é uma viga sobre mais de dois apoios, sendo um apoio fixo ou engastamento e todos os outros móveis, isostática pela existência de articulações.
O traçado das linhas de influência de vigas Gerber é obtido a partir das linhas de influência das vigas simples, levando em consideração a transmissão de carga da viga que está apoiada para aquela que serve de apoio. Deve-se lembrar que quando a carga móvel está sobre um apoio ela é integralmente transmitida para ele.
Para obtenção da linha de influência de RA, retira-se o vínculo que transmite RA, substituindo-o pela reação considerada positiva (para cima), obtendo-se uma cadeia cinemática. A chapa tem polo absoluto em B e a chapa αβ em β, ficando a chapa restante βCD fixa. A articulação α é polo relativo entre as chapas ABα e αβ. Pelo deslocamento unitário contrário a RA obtêm-se a forma indicada da linha de influência.
Convém observar que os pólos absolutos (B e β) obviamente se mantêm fixos nos "deslocamentos virtuais infinitesimais" e o polo relativo (α) não permite que as duas chapas separem, ou seja, polo relativo é ponto comum entre as chapas (ou seus prolongamentos). Sempre que uma chapa estiver vinculada à terra por 3 barras não concorrentes, como o caso da chapa βCD, ela é fixa.
Figura 8 : Cadeia cinemática para L.I. de QBesq.
posição é aplicada uma carga concentrada P2 que provoca, no seu ponto de aplicação, um deslocamento para baixo de uma unidade de distância. Considerando um comportamento elástico-linear, as expressões do PDV para as duas vigas são:
∑ ∫ ∫
É importante salientar mais uma vez que as linhas de influência para estruturas hiperestáticas são formadas por trechos curvos, enquanto para estruturas isostáticas elas são formadas por trechos retos.
2.1.3.1. Determinação da LI das reações de apoio para vigas hiperestáticas Dada uma Viga Continua para determinar o valor de uma reacção de apoio da mesma submetida a uma carga móvel, deve-se, inicialmente, traçar a linha de influência correspondente a essa reacção de apoio. Portanto, utilizar-se-á o método cinemático para traçar a linha de influência.
Dessa forma, para se determinar a linha de influência de uma reacção de apoio vertical, basta que seja removido o vínculo que transmite essa reacção de apoio vertical e aplicado um deslocamento unitário no sentido contrário a convenção de reacção de apoio positiva.
A figura abaixo apresenta as linhas de influência de reacções de apoio verticais para uma viga hiperestática.
Figura 10 : Linhas de influência de reações de apoio verticais para uma viga contínua
2.1.3.2. Determinação da LI de esforço transverso para vigas hiperestáticas Utilizando-se o método cinemático, basta que seja removido o vínculo correspondente ao esforço transverso e aplicado um deslocamento relativo unitário entre o lado esquerdo e o lado direito da secção analisada, da mesma forma como foi feito para as vigas isostáticas.
No caso de secções de apoio, como existe uma descontinuidade da LI nestes pontos.
Duas secções de um mesmo vão têm LI’s de esforço transverso diferindo apenas pela localização da descontinuidade, que fica sobre a secção. Ou ainda, não é possível traçar a linha de influência de esforço transverso sobre um apoio, visto que nesse ponto há uma descontinuidade do esforço transverso. Portanto, da mesma forma como foi feito para as vigas isostáticas, devese analisar as secções imediatamente à esquerda e à direita do apoio.
A figura abaixo ilustra LI’s de esforços transversos:
2.1.3.3. Determinação da LI de momento flector para vigas hiperestáticas
De maneira análoga, para traçar a linha de influência de momento flector de uma viga hiperestática, deve-se remover o vínculo que transmite esse esforço e aplicar um giro relativo unitário no sentido horário à direita da secção analisada bem como no sentido anti-horário à esquerda da secção analisada, já que esse giro deve ser contrário à convenção de momento flector positivo. Os dois lados da viga irão apresentar trechos curvos, girando em relação aos apoios móveis e fixos. Na figura abaixo são apresentadas algumas linhas de influência para uma viga hiperestática.
Figura 11 : Linhas de influência de esforço transverso para uma viga contínua hiperestática
By(0) , By(1) e By(2) , correspondem às reações de apoio em B para cada um desses casos isostáticos. By , MB e MC , por sua vez, são a reacção de apoio em B e os momentos flectores em B e em C da viga hiperestática. Assim, temos:
By = By (^) (0) + By (^) _(1)MB + By_* (^) _(2)MC_*
Essa mesma superposição pode ser utilizada para traçar a linha de influência de By :
**(LIBy)hip= (LIBy (0))isost+ By (1) *(LIMB)hip + By (2) *(LIMC)hip**
Ou seja, para encontrar o valor da ordenada da linha de influência de By em um ponto da viga hiperestática, basta somar a ordenada da linha de influência de By da viga isostática às ordenadas das linhas de influência de MB e MC multiplicadas pelas reações de apoio em B da viga isostática para os casos (1) e (2).
Assim se pode concluir que, para se determinar qualquer linha de influência de uma viga n vezes hiperestática, é preciso conhecer as linhas de influência de n esforços.
2.1.4.1. Representação esquemática das LI’s. Envoltória de Esforços É importante ter em conta que para realizar o projeto de uma estrutura de maneira adequada, se deve determinar os valores extremos (máximo positivo e máximo negativo) dos esforços solicitantes que atuam nessa estrutura. A determinação desses esforços, devidos às cargas fixas é feita traçando-se os diagramas de esforços solicitantes, utilizando-se as equações de equilíbrio, no caso de estruturas isostáticas, ou os métodos das forças ou dos deslocamentos, no caso de estruturas hiperestáticas.
Assim, quando uma carga móvel actua em uma estrutura, deve-se, primeiramente, determinar em que ponto posicionar a carga móvel para que ela provoque o máximo valor positivo ou negativo do esforço solicitante. Esse procedimento é feito utilizando-se as linhas de influência. Como a ordenada da linha de influência em um ponto x de uma viga corresponde ao valor do esforço na secção analisada quando uma carga unitária móvel está sobre esse mesmo ponto x , para encontrar o máximo valor positivo desse esforço na secção analisada, basta posicionar a carga móvel sobre o trecho positivo da linha de influência.
A determinação do máximo valor negativo é feita de maneira análoga, conforme apresentado na figura abaixo.
2.1.4.2. Representação esquemática das forças. Trem-tipo Segundo (Süssekind, 1981) , Trens-Tipo são constituídos por cargas concentradas e/ou uniformemente distribuídas, de valores conhecidos e guardando uma distância, constante, entre si. Desta forma, conhecida a posição de uma das cargas do trem-tipo, conhece-se imediatamente a posição de todas as demais.
Baseando nos preceitos de (VIEIRA & TORRES, 2018), no trem-tipo, as cargas concentradas representam os eixos de um veículo de grande porte, enquanto que a carga uniformemente distribuída representa os demais veículos de menor porte que circulam na ponte (também conhecida como carga de multidão).
Os valores das cargas concentradas e uniformemente distribuídas de um trem-tipo são definidos por normas, de acordo com a categoria da rodovia ou da ferrovia.
2.1.4.3. Representação gráfica do esforço transverso Sabendo qual o trem-tipo e qual a carga permanente que atuam sobre uma viga, podemos fazer a representação gráfica dos valores extremos da força cortante, que é chamada de envoltória de força cortante (transversa). Para isso, deve-se traçar a linha de influência de vários pontos da secção, e, em cada uma dessas linhas de influência, posicionar a carga móvel de forma a obter os valores máximo e mínimo da força cortante para cada secção.
Figura 14 : Posicionamento da carga móvel
Figura 15 Trem-tipo