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UNIVERSIDADE DA BEIRA INTERIOR

Apontamentos Te´oricos

de

Algebra Linear e Geometria Anal´ıtica

Cristina Gama

Jorge Gama

Ano Lectivo 2001/

1 ESTRUTURAS ALG´EBRICAS

Os conceitos que se seguem servir˜ao de suporte aos objectivos da disciplina. Esses conceitos

s˜ao as estruturas de grupo, anel e corpo. No final do cap´ıtulo faremos um estudo mais

aprofundado do corpo dos n´umeros complexos.

Defini¸c˜ao 1.1 Seja A um conjunto n˜ao vazio. Chama-se opera¸c˜ao bin´aria ou lei de

composi¸c˜ao interna no conjunto A a qualquer aplica¸c˜ao definida do conjunto A × A (produto

cartesiano de A por A) em A, isto ´e, se representarmos por θ essa aplica¸c˜ao, ent˜ao

θ : A × A → A

(a, b) 7 → θ(a, b)

No caso das opera¸c˜oes bin´arias ´e usual escrever-se aθb no lugar de θ(a, b). Passaremos

a usar essa nota¸c˜ao.

Exemplos:

1. No conjunto N, a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao usuais s˜ao opera¸c˜oes bin´arias.
2. No conjunto Z a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao usuais s˜ao opera¸c˜oes bin´arias.
3. Em Q ou R a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao usuais s˜ao opera¸c˜oes bin´arias.
4. A subtrac¸c˜ao ´e uma opera¸c˜ao bin´aria em N? E em Z?
5. A divis˜ao ´e uma opera¸c˜ao bin´aria em N, Z, Q, ou R? E em Q \ { 0 } ou R \ { 0 }?
6. Se em N 0 definirmos ∗ : N 0 × N 0 → N 0 tal que a ∗ b = a + b + 1, ∗ ´e uma opera¸c˜ao bin´aria.

Defini¸c˜ao 1.2 Seja A um conjunto, n˜ao vazio, e θ uma opera¸c˜ao bin´aria definida em A.

Diz-se que (A, θ) ´e um grupo quando se verificam os seguintes axiomas:

G1. ∀a, b, c ∈ A, (aθb)θc = aθ(bθc) (Associatividade)

G2. ∃u ∈ A : ∀a ∈ A, aθu = uθa = a (Existˆencia de elemento neutro)

G3. ∀a ∈ A, ∃a

′ ∈ A : aθa

′ = a

′ θa = u (Existˆencia de elemento oposto)

No caso em que a opera¸c˜ao ´e tamb´em comutativa, isto ´e,

G4. ∀a, b ∈ A, aθb = bθa

o grupo (A, θ) diz-se comutativo ou abeliano.

Observa¸c˜oes:

Homomorfismos de Grupos

Defini¸c˜ao 1.4 Sejam (A, θ) e (A

′ , σ) dois grupos. Uma aplica¸c˜ao f : A → A

′ diz-se um

homomorfismo se

∀a, b ∈ A, f (aθb) = f (a)σf (b).

Observa¸c˜oes: Se f : A → A

′ ´e um homomorfismo, ent˜ao

i) f (u) = u

′ (u elemento neutro de (A, θ) e u

′ elemento neutro de (A

′ , σ))

ii) (f (a))

− 1 = f (a

− 1 ).

Exemplos:

1. Seja

f : R

→ R

x 7 → ln(x).

f ´e um homomorfismo do grupo (R

, ·), no grupo (R, +), j´a que ln(x · y) = ln(x) + ln(y).

2. A aplica¸c˜ao

g : R → R

x 7 → e

x

´e um homomorfismo de (R, +) no grupo (R

, ·), j´a que e

x+y = e

x · e

y .

Defini¸c˜ao 1.5 Um terno (A, +, ·), com A um conjunto, n˜ao vazio, e + e · opera¸c˜oes bin´arias

definidas em A, ´e um anel se:

A1. (A, +) ´e um grupo abeliano;

A2. A opera¸c˜ao · ´e associativa;

A3. A opera¸c˜ao · ´e distributiva relativamente `a opera¸c˜ao +, isto ´e,

∀a, b, c ∈ A, a · (b + c) = (a · b) + (a · c) ∧ (a + b) · c = (a · c) + (b · c).

O elemento neutro da primeira opera¸c˜ao chama-se zero do anel.

Se a segunda opera¸c˜ao for comutativa, ent˜ao o anel diz-se comutativo.

Caso o anel A tenha elemento unidade, isto ´e, se (A, ·) tiver elemento neutro, A diz-se anel

com elemento unidade ou anel unit´ario.

Exemplos de An´eis:

1. (Z, +, ·) ´e um anel comutativo unit´ario.
2. O conjunto R

2 = {(a, b) : a, b ∈ R} com as opera¸c˜oes definidas por

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) · (c, d) = (ac, bd)

´e um anel.

Defini¸c˜ao 1.6 Um terno (K, +, ·) diz-se um corpo se (K, +, ·) ´e uma anel comutativo com

identidade e todos os elementos de K { 0 } tˆem inverso, isto ´e, (K, +, ·) ´e um corpo se (K, +)

e (K \ { 0 }, ·) s˜ao grupos comutativos e · ´e distributiva relativamente a +.

Exemplos de Corpos: (Q, +, ·), (R, +, ·), com + e · as opera¸c˜oes usuais, e (Z 2 , +, ·), com

Propriedades 1.7 Num corpo s˜ao v´alidas as seguintes proposi¸c˜oes:

1. a · 0 = 0 · a = 0 (0 ´e elemento absorvente da multiplica¸c˜ao)
2. a · b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0 (lei do anulamento do produto)

Defini¸c˜ao 1.8 Sejam (K, +, ·) e (K

′ , θ, ∗) dois corpos. A aplica¸c˜ao f : K → K

′ diz-se um

homomorfismo de corpos se, para todos x, y ∈ K,

f (x + y) = f (x)θf (y) e f (x · y) = f (x) ∗ f (y).

Se f ´e bijectiva, f diz-se um isomorfismo. Se K = K

′ , f diz-se um endomorfismo. E um

endomorfismo bijectivo diz-se um automorfismo.

Depois de definirmos todas estas estruturas, podemos estudar mais profundamente um

corpo muito importante: Corpo dos Complexos, isto ´e,

C = {(a, b) : a, b ∈ R}

munido com as opera¸c˜oes:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)

(a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc)

Exerc´ıcio: Mostre que (C, +, ·) ´e um corpo.

Observa¸c˜oes:

1. N˜ao ´e dif´ıcil verificar que (0, 0) ´e o zero de C e (1, 0) ´e a unidade de C.
2. Seja S = {(a, 0) : a ∈ R}, subconjunto de C. (S, +, ·) ´e um corpo para as opera¸c˜oes

definidas em C. Dado que a aplica¸c˜ao

f : (R, +, ·) → (S, +, ·)

a 7 → (a, 0)

´e um isomorfismo de corpos, podemos simplificar a escrita identificando os complexos

(a, 0) com o correspondente n´umero real a.

Representa¸c˜ao Trigonom´etrica dos N´umeros Complexos

J´a sabemos que dada uma recta orientada, existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre

cada ponto da recta e o conjunto dos n´umeros reais, R. Assim, como identificamos o n´umero

complexo (a, 0) com o n´umero real a, os complexos da forma a + i0 ser˜ao representados na

recta.

Como representar, por exemplo, os imagin´arios puros? Repare-se que uma rota¸c˜ao de

o em torno da origem corresponde a uma multiplica¸c˜ao por −1. Ora, uma rota¸c˜ao de

90

o dever´a corresponder a multiplicar por k de modo que k

2 = −1. Logo, k ter´a que ser

a unidade imagin´aria i. Convencionaremos que o sentido positivo das rota¸c˜oes ´e o sentido

contr´ario ao dos ponteiros do rel´ogio. Portanto, passaremos a representar os n´umeros reais

num eixo horizontal (eixo real) e os imagin´arios puros num eixo vertical (eixo imagin´ario).

Assim, um ponto P do plano de abcissa a e ordenada b ser´a a imagem do complexo z = a+bi.

6



















r

O

P

a

b

ρ

θ

Plano de Argand

Sabemos que o comprimento OP ´e o n´umero real |z| =

a

2

• b

2 (Teorema de Pit´agoras).

Representemos este n´umero por ρ. Repare-se que o ponto P fica bem definido se consider-

armos ρ e o ˆangulo θ que o segmento [OP ] faz com a parte positiva do eixo real.

Chama-se argumento principal ao ˆangulo θ ∈] − π, π]. Assim, a imagem do complexo

z fica bem definida se conhecermos ρ := |z| e θ := arg(z). Observe-se que se fizermos

θ = arg(z) + 2kπ, k ∈ Z, obtemos sempre a mesma imagem. Portanto, a cada complexo

podemos associar uma infinidade de argumentos. Al´em do principal, o argumento positivo

m´ınimo de z = a + bi ´e tal que θ ∈ [0, 2 π[ e tg θ =

b

a

Observe a figura anterior para concluir que para todo o complexo z = a + bi,

a = ρ cos θ

b = ρ sen θ

Assim, a forma trigonom´etrica de z ´e

z = ρ(cos(θ) + i sen(θ)).

Abreviadamente, z = ρ cis(θ).

Se z ∈ C ´e tal que z = a + bi = ρ cis(θ), ent˜ao z = a − bi = ρ cis(−θ).

6















r Z Z Z Z Z Z

ZZr

O

z

z

ρ

θ

−θ

Exerc´ıcio: Escreva na forma trigonom´etrica:

a) − 3 i;

b) − 1 − i;

c) 1 − i

d) 2 + 3i.

Opera¸c˜oes com Complexos na Forma Trigonom´etrica

Adi¸c˜ao: Usa-se a regra do paralelogramo

6

r

O

z 1 + z 2 = z













r (^) z 1

z 2 r









z = ρ cis(θ) = z 1 +z 2 = ρ 1 cis(θ 1 )+ρ 2 cis(θ 2 ) = ρ 1 cos(θ 1 )+ρ 2 cos(θ 2 )+i(ρ 1 sen(θ 1 )+ρ 2 sen(θ 2 ))

e

|z|

2 = ρ

2 = (ρ 1 cos(θ 1 ) + ρ 2 cos(θ 2 ))

2

• (ρ 1 sen(θ 1 ) + ρ 2 sen(θ 2 ))

2 = ρ

2 1 +^ ρ

2 2 + 2ρ^1 ρ^2 cos(θ^1 −^ θ^2 ).

Multiplica¸c˜ao: Se z 1 = ρ 1 cis(θ 1 ) e z 2 = ρ 2 cis(θ 2 ), ent˜ao

z 1 · z 2 = (ρ 1 cis(θ 1 ))(ρ 2 cis(θ 2 )) = ρ 1 ρ 2 cis(θ 1 + θ 2 ).

Observe-se que

e assim z

8 / 12 = z

2 / 3 , tem 3 ra´ızes distintas, enquanto

12

z

8 tem

12 ra´ızes distintas. Em C, (z

p )

1 /q pode ser diferente de

z

1 /q

)p .

Exerc´ıcios:

1. Utilize a forma trigonom´etrica para calcular:

a)

i

55 −

(1 − i)^6

b)

i

66 (

3 − i)

4

(1 + i

3)^8

2. Resolva, em C, a equa¸c˜ao

z

3 − (1 + i)z

2

• iz = 0.

Lugares Geom´etricos

• Circunferˆencia de centro z 0 e raio r ≥ 0.

Por defini¸c˜ao, uma circunferˆencia de centro z 0 e raio r ´e o conjunto dos pontos z tais que

|z − z 0 | = r

ou, equivalentemente,

(z − z 0 ) (z − z 0 ) = r

2 ⇔ zz − zz 0 − z 0 z + |z 0 |

2 = r

2 .

Se |z 0 |

2 = r

2 , a circunferˆencia passa pela origem.

Se |z 0 |

2 6 = r

2 , a circunferˆencia n˜ao passa pela origem.

• Equa¸c˜ao da recta.

A equa¸c˜ao geral de uma recta em R

2 ´e da forma

Ax + By + C = 0.

Tomando-se z 0 = A + iB e z = x + iy, obt´em-se que

Re(z 0 )Re(z) + Im(z 0 )Im(z) + C = 0 ⇔

z 0 + z 0

z + z

z 0 − z 0

2 i

z − z

2 i

+ C = 0

⇔ (z 0 + z 0 ) (z + z) − (z 0 − z 0 ) (z − z) + 4C = 0

⇔ 2 z 0 z + 2z 0 z + 4C = 0

⇔ z 0 z + z 0 z + R = 0 (Equa¸c˜ao Geral da Recta)

Se R = 0, a recta passa pela origem.

Se R 6 = 0, a recta n˜ao passa pela origem.

2 MATRIZES. RESOLUC¸ ˜AO DE SISTEMAS. INVERS ˜AO DE

MATRIZES.

Defini¸c˜ao 2.1 Sejam m, n ∈ N e K um corpo. Chama-se matriz do tipo m × n (ou

de ordem (m, n)) sobre o corpo K, ou simplesmente, matriz do tipo m × n, a uma

fun¸c˜ao A definida no conjunto {(i, j) ∈ N × N : 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} e com valores em K.

As componentes ou elementos ou entradas da matriz A designam-se por aij = A(i, j).

E usual usar-se um quadro rectangular para dispor os elementos de^ ´ K.

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. .

. · · · · · · · · ·

am 1 am 2 · · · amn

ou

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. .

. · · · · · · · · ·

am 1 am 2 · · · amn

Abreviadamente, uma matriz representa-se por

aij (1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n)

ou, apenas, por A.

Duas matrizes A = [aij ] e B = [bij ] dizem-se iguais se, e somente se, s˜ao do mesmo tipo

e aij = bij , para todos os valores de i e j.

Designa-se por MK (m, n) o conjunto de todas as matrizes sobre o corpo K e de ordem

(m, n) (m linhas, n colunas).

Se K = R, a matriz diz-se real. Se K = C, a matriz diz-se complexa.

Matrizes Especiais

Seja A = [aij ] ∈ MK (m, n).

1. Se n = 1, a matriz A diz-se matriz coluna.

a 11

a 21

. . .

am 1

2. Se m = 1, a matriz A diz-se matriz linha.

[

a 11 a 12 · · · a 1 n

]

Exemplo: 

= [3δij ]

A matriz identidade ´e a matriz escalar [δij ]. Designa-se, em geral, por In.

I 1 = [1] I 2 =

[

]

I 3 =

 I

4. Uma matriz formada por r linhas (r ≤ m) e s colunas (s ≤ n) de uma matriz A diz-se

uma submatriz de A do tipo r × s.

Exemplo:

A matriz

[

]

´e submatriz de

5. A matriz A diz-se matriz nula se todos os elementos s˜ao nulos (aij = 0, para todos

os valores de i e j). Designa-se a matriz nula por (^0) m×n, ou simplesmente por 0 , se n˜ao

houver ambiguidade quanto ao seu tipo.

Exemplo: 

6. A matriz oposta da matriz A = [aij ] (m,n)

´e uma matriz do mesmo tipo definida por

−A = [−aij ].

Exemplo:

A =

 − A =

7. Denomina-se matriz transposta de A a matriz A

T que se obt´em de A trocando orde-

nadamente as linhas por colunas e as colunas por linhas. Se A ´e do tipo m × n, A

T ´e do

tipo n × m.

Exemplo:

A =

[

]

A

T

Propriedade 2.

A

T

)T

= A.

8. A matriz A diz-se sim´etrica se ´e igual `a sua transposta, isto ´e, A = A

T

. Logo, os seus

elementos verificam a rela¸c˜ao

aij = aji,

para todos os valores de i e j.

Desta forma, uma matriz sim´etrica ´e necessariamente quadrada e os elementos colocados

simetricamente em rela¸c˜ao `a diagonal principal s˜ao iguais.

Exemplo: 

9. A matriz A diz-se anti-sim´etrica ou hemi-sim´etrica se

A

T = −A ou A = −A

T .

Os elementos verificam a rela¸c˜ao aij = −aji. Assim, para i = j, tem-se

aii = −aii ⇔ aii = 0.

Desta forma, uma matriz anti-sim´etrica ´e uma matriz quadrada cujos elementos principais

s˜ao nulos e os elementos colocados simetricamente em rela¸c˜ao `a diagonal principal s˜ao

sim´etricos.

Exemplo: 

10. Se a matriz A ´e complexa, chama-se matriz conjugada de A `a matriz A que se obt´em

substituindo cada elemento de A pelo seu conjugado.

Exemplo:

A =

[

5 3 + 2i 2

−i 7 i 9 − i

]

A =

[

5 3 − 2 i 2

i − 7 i 9 + i

]

Propriedades 2.

1. Se A = A, ent˜ao A ´e uma matriz real.

2. A = A.

11. Denomina-se matriz associada de A (complexa) a matriz A

∗ que ´e igual `a transposta

da conjugada de A, ou, o que ´e o mesmo, `a conjugada da transposta de A, isto ´e,

A

∗ = A

T = (AT^ ).

Exemplo:

A =

[

5 3 + 2i 2

−i 7 i 9 + i

]

A

∗

5 i

3 − 2 i − 7 i

2 9 − i

b) A adi¸c˜ao de matrizes ´e associativa, isto ´e,

∀A, B, C ∈ MK (m, n), (A + B) + C = A + (B + C).

c) A adi¸c˜ao de matrizes tem elemento neutro, a matriz nula

(m,n)

d) Todas as matrizes em MK (m, n) tˆem oposto. O elemento oposto de A ∈ MK (m, n) ´e

a matriz −A ∈ MK (m, n).

∴ (MK (m, n), +) ´e um grupo abeliano.

e) Sejam A 1 , A 2 ,... , Ap ∈ MK (m, n). Ent˜ao

(A 1 + A 2 + · · · + Ap)

T = A

T 1 +^ A

T 2 +^ · · ·^ +^ A

T p.

f) Se A ∈ MC(n, n), ent˜ao A + A

∗ ´e herm´ıtica e A − A

∗ ´e hemi-herm´ıtica.

g) Se A ∈ MK (n, n), ent˜ao A + A

T ´e sim´etrica e A − A

T ´e anti-sim´etrica.

2. Multiplica¸c˜ao de uma Matriz por um Escalar:

Sejam A = [aij ] ∈ MK (m, n) e λ ∈ K. E usual denominar qualquer elemento de um´

corpo por escalar. Define-se produto do escalar λ pela matriz A como sendo a matriz

λA = [λaij ].

Exemplo:

Se A =

[

]

e λ = 2, ent˜ao λA =

[

]

Propriedades 2.6 Sejam A, B ∈ MK (m, n) e α, β ∈ K.

i) 1 · A = A;

ii) α(βA) = (αβ)A = β(αA);

iii) (α + β)A = αA + βA;

iv) α(A + B) = αA + αB;

v) Se K = C e m = n, uma matriz A pode exprimir-se como soma de uma matriz

herm´ıtica e uma hemi-herm´ıtica, ou de uma matriz sim´etrica e outra anti-sim´etrica.

3. Multiplica¸c˜ao de Matrizes:

Sejam A = [aik] ∈ MK (m, p) e B = [blj ] ∈ MK (p, n). As matrizes A e B dizem-

-se encadeadas porque o n´umero de colunas de A ´e igual ao n´umero de linhas de B.

Define-se multiplica¸c˜ao da matriz A pela matriz B como sendo uma matriz C do tipo

m × n, cujos elementos cij satisfazem a igualdade

cij =

p ∑

k=

aikbkj ,

com i = 1,... , m e j = 1,... , n.

Exemplo:

A =

[

]

B =

[

]

AB =

[

]

Observe que n˜ao ´e poss´ıvel a multiplica¸c˜ao BA. Desta forma, a multiplica¸c˜ao n˜ao ´e

comutativa. Mesmo que A seja do tipo m × n e B do tipo n × m, AB ´e diferente de BA,

para m 6 = n, dado as matrizes AB e BA n˜ao serem da mesma ordem. Observe o seguinte

exemplo:

[

]

[

]

[

]

No caso particular m = n, se AB = BA, ent˜ao as matrizes A e B dizem-se permut´aveis.

Exemplo: [ 2 0

0 2

] [

]

[

]

[

] [

]

As matrizes

[

]

e

[

]

s˜ao permut´aveis.

Propriedades 2.

i) Se A, B e C s˜ao matrizes do tipo m × p, p × q e q × n, respectivamente, ent˜ao

(A · B) · C = A · (B · C) (Associatividade).

ii) Se A, B e C s˜ao matrizes do tipo m × p, p × n e p × n, respectivamente, ent˜ao

A · (B + C) = A · B + A · C (Distributividade `a Esquerda).

Se D, E e F s˜ao matrizes do tipo m × p, m × p e p × n, respectivamente, ent˜ao

(D + E) · F = D · F + E · F (Distributividade `a Direita).

iii) O conjunto MK (n, n), das matrizes quadradas de ordem n com elementos no corpo

K, munido com as opera¸c˜oes adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao de matrizes ´e um anel n˜ao

comutativo com elemento unidade (matriz identidade de ordem n).

O 2 Multiplica¸c˜ao dos elementos de uma fila por um escalar de K \ { 0 }.

O 3 Adi¸c˜ao, aos elementos de uma fila, dos produtos dos elementos correspondentes de

uma fila paralela por um mesmo escalar de K.

2. Uma matriz que tenha uma submatriz triangular (ou diagonal), com elementos principais

n˜ao nulos, e as restantes filas com elementos todos nulos tem caracter´ıstica igual ao

n´umero de filas dessa submatriz.

Utilizando-se 1. e 2., podemos determinar a caracter´ıstica de uma matriz. Efectua-se,

assim, a condensa¸c˜ao da matriz.

Exerc´ıcio: Determine a caracter´ıstica da matriz

A =

Em geral, dada uma matriz

A =

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

· · · · · · · · · · · ·

am 1 am 2 · · · amn

podemos, por condensa¸c˜ao, obter

b 11 b 12 · · · b 1 r · · · b 1 n

0 b 22 · · · b 2 r · · · b 2 n

0 · · · 0 brr · · · brn

ou

c 11 0 · · · 0 · · · 0

c 21 c 22 · · · 0 · · · 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

cr 1 · · · · · · crr · · · 0

ou

d 11 0 · · · · · · · · · 0

0 d 22 0 · · · · · · 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

0 · · · 0 drr · · · 0

· · · · · · · · · · · · · · · · · ·

0 0 · · · · · · · · · 0

Qualquer destas matrizes tem r filas independentes e quaisquer r + 1 filas passam a ser

dependentes. Logo, Car A = r.

Aplica¸c˜ao `a Resolu¸c˜ao de Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares

Considere-se um sistema de m equa¸c˜oes com n inc´ognitas:

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1 nxn = b 1

am 1 x 1 + am 2 x 2 + · · · + amnxn = bm

Observe-se que fazendo

A =

a 11 a 12 · · · a 1 n

a 21 a 22 · · · a 2 n

. .

. · · · · · · · · ·

am 1 am 2 · · · amn

(Matriz dos Coeficientes),

B =

b 1

b 2

. . .

bm

(Matriz dos Termos Independentes) e X =

x 1

x 2

. . .

xn

o sistema de equa¸c˜oes ´e equivalente `a equa¸c˜ao matricial AX = B.

Sabemos que as opera¸c˜oes elementares transformam o sistema dado num sistema equiva-

lente. Assim, podemos encontrar a(s) solu¸c˜ao(˜oes), caso exista(m), aplicando o m´etodo de

condensa¸c˜ao `a matriz ampliada ou completa:

[A|B] =

a 11 · · · a 1 n | b 1

. .

. · · ·

am 1 · · · amn | bm

Aten¸c˜ao: A troca de duas colunas em A correspondem a uma troca de inc´ognitas.

Condensando [A|B], ou melhor, condensando A, at´e determinar a sua caracter´ıstica r,

temos:

o Caso: m = n = r

α 11 α 12 · · · α 1 n | β 1

0 α 22 · · · α 2 n | β 2

0 · · · 0 αnn | βn