Baixe algebra linear e geometria analitica exercicios resolvidos prontos e outras Esquemas em PDF para Álgebra, somente na Docsity!
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Divisão de Ciências
Departamento de Matemática e Informática
Programa e Ficha de Exercícios
Álgebra Linear
e Geometria Analítica
o Ano - 2
o Semestre
Cursos:
- Engenharia Hidráulica
- Engenharia Eléctrica
- Engenharia Termotécnica
Songo, 2017
Conteúdo
Programa da disciplina
1. Programa da disciplina
- Carga horária: 4 horas/semana;
- Tempo lectivo: 16 semanas (31.08.2017 – 17.11.2017)
- Objectivos gerais
No fim desta disciplina o estudante deve ser capaz de:
- Usar o cálculo matricial para a resolução de sistemas de equações lineares;
- Operar com vectores;
- Operar com números complexos;
- Construir e investigar as Propriedades de rectas, planos e linhas de segunda ordem a
partir de suas equações.
1.1. Plano temático
Temas Semanas Horas
Teóricas Práticas Total
- Álgebra Linear
- Matrizes;
- Determinante de n-ésima ordem;
- Matriz Inversa;
- Sistemas de Equações Lineares;
- Métodos de Resolução de
sistemas de equações lineares. 1 - 6 12 12 24
- Álgebra Vectorial
- Vectores e operações com vectores ;
- Produtos de vectores;
- Espaços Vectoriais e Subespaços.
- Autovalores e autovectores. 7 - 9 6 6 12
- Números Complexos 10 2 2 4
- Geometria Analítica
- Recta no plano;
- Plano no espaço;
- Recta no espaço, plano;
- Linhas da segunda ordem;
- Superfícies de segunda ordem;
- Formas Quadráticas e canonização delas.
Classificação de cónicas e quádricas
através de formas quadráticas. 11 - 16 12 12 24
TOTAL 16 32 32 64
Disciplinas precedentes: Nenhuma Disciplinas subsequentes: Optimização
1.2. Sistema de Avaliação
- Documentos de Avaliação: 3 Testes e Exame (Normal ou de Recorrência).
- Cálculo da Média de Frequência (Mf ):
Mf =
T este1 + T este2 + T este 3
- Cálculo da Média Final: MF =
2 Mf + N ota de Exame
- Datas de realização dos Testes
Tetes Semana Data
Teste 1 Semana 6
Teste 2 Semana 12
Teste 3 Semana 16
Notas
- A assistência às aulas e às demais actividades curriculares é obrigatória. Nas aulas teórico-
práticas ou práticas não laboratoriais a presença é obrigatória em pelo menos 80% das aulas
programadas.
O estudante deverá realizar, obrigatoriamente,os três (3) testes;
Admite ao Exame o estudante que tiver a nota de frequência maior ou igual a dez(10) valores;
A nota final de frequência mínima de dispensa é catorze (14) valores;
É condição necessária de dispensa que o estudante não obtenha em nenhum dos testes nota
inferior á dez (10) valores;
- A avaliação é continua.
- Calcular A − 2 B + 3C , se:
(a) A=
[
]
; B=
[
]
e C=
[
]
(b) A=
[
]
; B=
[
]
e C=
[
]
(c) A=
[
]
; B=
[
]
e C=
[
]
(d) A=
;^ B=
e^ C=
(e) A=
;^ B=
e^ C=
- Achar A · B , se:
(a) A=
[
]
e B=
(b) A=
e^ B=
[
]
(c) A=
e^ B=
(d) A=
e^ B=
(e) A=
[
]
e B=
[
]
(f) A=
[
]
e B=
[
]
(g) A=
e^ B=
(h) A=
e^ B=
(i) A=
e^ B=
(j) A=
e^ B=
- Sejam A=
e^ B=
Calcule se possível:
(a) A · B;
(b) A
T · B;
(c) B · A;
(d) A · A
T ;
(e) B · B
T ;
(f) B
T · A.
- Determine os valores de a, b e c, para que as matrizes A e B sejam simétricas:
A=
1 − 1 b
a 3 2
0 c 1
e^ B=
1 2 b
− 1 a 1
3 c 0
Demonstre que uma matriz simétrica é matriz quadrada.
Prove que o produto de uma matriz pela sua transposta é uma matriz simétrica.
Demonstre que a soma de duas matrizes simétricas da mesma ordem é também simétrica.
Demonstre que se A é matriz quadrada, então B =
(A + A
T ) é simétrica, onde A
T é matriz
transposta de A.
1.2 Característica duma matriz
- Determine quais das matrizes têm forma escalonada reduzida e quais têm forma escalonada.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
- Transforme as matrizes abaixos para forma escalonada reduzida:
(a)
(b)
(c)
(d)
- Achar a característica das matrizes abaixo, e diga se são ou não singulares:
(a) A=
(b) B=
(c) C=
(d) D=
(e) E=
(f) F =
1.3 Determinante
- Aplicando a regra de Sarrus, calcule:
(a)
(b)
; (c)
- Calcule os seguintes determinantes, transformando-os previamente em um determinante tri-
angular:
(a)
(b)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
- Calcule determinantes seguintes usando combinação de transformações elementares das linhas
e de desenvolvimento segundo linha ou coluna:
(a)
(b)
- Calcule determinantes das matrizes:
(a)
0 k 0
(b)
k 0 0
(c)
k 0 0
(d)
0 k 0
(e)
(f)
1.4 Matriz inversa
- Verifique se as matrizes abaixo são invertíveis:
(a) A=
;^ (b) B=
0 1 a
;^ (c) C=
- Verifique se a matriz A é inversa da matriz B :
(a) A =
[
]
B =
[
]
(b) A =
B=
(c) A =
B
3 4
1 2
1 2 3 4
3 4 −^
1 2
−
1 4
1 2
1 2
- Usando o algorítimo de Jordan
1
2 , achar a matriz inversa de A, verifique o resultado a
partir de A · A
− 1 , sendo:
1 Camille Jordan (1838–1922) — matemático francês 2 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — matemático alemão
(a) A=
[
]
(b) A=
[
]
(c) A=
[
]
(d) A=
[
]
(e) A=
(f) A=
(g) A=
(h) A=
(i) A=
(j) A=
(k) A=
(l) A=
- Resolva o exercício anterior usando o método dos determinantes.
1.5 Sistemas de equações
1.5.1 Sistemas Lineares não Homogêneos
- Considere os sistemas, ache:
(a)
2 x + y = 5
x − 3 y = 6
(b)
x + 2 y + 3 z = 0
2 x + 3 y + 3 z = 1
3 x + 2 y + z = 0
(c)
x − y + z − w = 0
x + 2 y − 2 z + 2 w = 3
x + 2 y + 3 z − 3 w = 3
x − 2 y + 3 z − 4 w = − 2
i. A matriz ampliada;
iv. A matriz reduzida;
ii. A matriz coluna das incógnitas;
iii. A matriz coluna do segundo membro;
- Resolva os sistemas usando transformação á forma escalonada:
(a)
x + 7 y = 4
− 2 x − 9 y = 2
(b)
2 x + 6 y = − 6
5 x + 7 y = 1
(c)
x − 3 y = 4
− 3 x + 9 y = 8
(d)
4 y = 6
x − 6 y = 3
(e)
x + y + z = 6
2 x + y − z = 1
3 x − y + z = 4
(f)
x − y + z = 1
2 x − y + z = 4
x − 2 y + 2 z = 0
(g)
x − y + z − t = 0
x + 2 y − 2 z + 2 t = 3
x + 2 y + 3 z − 3 t = 3
x − 2 y + 3 z − 4 t = − 2
(h)
2 x − y + z − t = 4
3 x + 2 y − z + 2 t = 1
2 x − y − z − t = 0
5 x + 2 t = 1
- Usando o método de eliminação de Gauss
3
4 , resolva os sistemas abaixo:
3 Carl Friedrich Gauss (1777–1855) — matemático alemão 4 Camille Jordan (1838–1922) — matemático francês
- Dado o sistema
5 x + 8 y + 6 z = 7
3 x + 5 y + 4 z = 5
7 x + 9 y + 4 z = 1
2 x + 3 y + 2 z = 2
verifique se ele é consistente e ache as soluções
caso sua resposta seja afirmativa.
- Dado o sistema
x + 3 y + 5 z + 7 u + 9 w = 1
x − 2 y + 3 z − 4 u + 5 w = 2
2 x + 11 y + 12 z + 25 u + 22 w = 4
5 y + 2 z + 11 u + 4 w = − 1
verifique se ele é con-
sistente e ache as soluções caso sua resposta seja afirmativa.
- Resolva: (a)
2 x + 3y = 3
x − 2 y = 5
3 x + 2y = 1
(b)
x + 2y − 3 z + 2w = 7
2 x + 5y − 8 z + 6w = 5
2 x − 5 y + 3z + 2w = 4
(c)
x + 2y − z + 3w = 3
2 x + 4y + 4z + 3w = 9
3 x + 6y − z + 8w = 10
- Resolva: (a)
x + 2 y + 2 z = 2
3 x − 2 y − z = 5
2 x − 5 y + 3 z = − 4
x + 4 y + 6 z = 0
(b)
x + 5 y + 4 z − 13 w = 3
3 x − y + 2 z + 5 w = 2
2 x + 2 y + 3 z − 4 w = 1
- Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) solução única,
(ii) nenhuma solução (iii) mais de uma solução.
(a)
x + 2 y + kz = 1
2 x + ky + 8 z = 3
(b)
x + y + kz = 2
3 x + 4 y + 2 z = k
2 x + 3 y − z = 1
(c)
x − 3 z = − 3
2 x + ky − z = − 2
x + 2 y + kz = 1
(d)
kx + y + z = 1
x + ky + z = 1
x + y + kz = 0
- Determine as condições em a, b e c para que o sistema de incógnitas x, y e z tenha solução:
(a)
x + 2 y − 3 z = a
3 x − y + 2 z = b
x − 5 y + 8 z = c
(b)
x + 2 y + 4 z = a
2 x + 3 y − z = b
3 x + y + 2 z = c
1.5.2 Sistemas Lineares Homogêneos
- Determine se cada sistema tem solução única:
(a)
x + 3 y − 2 z = 0
x − 8 y + 8 z = 0
3 x − 2 y + 4 z = 0
(b)
x + 3 y − 2 z = 0
2 x − 3 y + z = 0
3 x − 2 y + 2 z = 0
(c)
x + 2 y − 5 z + 4 w = 0
2 x − 3 y + 2 z + 3 w = 0
4 x − 7 y + z − 6 w = 0
- Determine se cada sistema, tem solução não nula:
(a)
x − 2 y + 2 z = 0
2 x + y − 2 z = 0
3 x + 4 y − 6 z = 0
3 x − 11 y + 12 z = 0
(b)
2 x − 4 y + 7 z + 4 v − 5 w = 0
9 x + 3 y + 2 z − 7 v + w = 0
5 x + 2 y − 3 z + v + 3 w = 0
6 x − 5 y + 4 z − 3 v − 2 w = 0
Álgebra Vectorial
2.1 Noção e operações com vectores
- Calcular as coordenadas dos vectores
AB e
BA sabendo que:
(a) A(0, 2) e B(2, 0); (b) A(3, − 1 , 2) e B(− 1 , 2 , 1)
- Determinar o ponto B , sabendo que:
(a)
AB = (2, 3) e A(0, 1); (b)
AB = (3, − 1 , 4) e A(1, 2 , −3).
- Calcule
a +
b ,
a −
b , 2
a + 3
b , − 5
a +
b , se
a = (2, −1) e
b = (3, 4).
- Sejam
a = (1, 2 , 2),
b = (0, 0 , −3),
c = (− 2 , 4 , −3), ache:
(a)
a +
b +
c ; (b)
a − 2
b + 2
c ; (c) 3
a + 2
b − 3
c ; (d)^ −
a −
b −
c.
- Sejam
a = (5, −1) e
b = (− 2 , 4). Efectue as operações
a +
b e −
a , ilustrando com
vectores cujos iniciais se encontram na origem.
- Considere os vectores
a e
b. Represente geometricamente os vectores 2
a , − 3
b , 2
a +
b ,
b −
b e
a −
b.
- Determine a origem do segmento que representa o vector
a = (2, 3 , −1), sendo que a extre-
midade é o ponto B(0, 4 , 2).
Se 3(x, y, z) + 5(− 1 , 2 , 3) = (4, 1 , 3), ache x, y e z.
Determinar os vectores
a e
b , sendo −→ a = (x + y, 3 x − y),
b = (2x, y − 2 x),
a +
b = (5, 1).
- Sendo
a = (2, 3 , 4) e
b = (− 2 , x, z). Determine x e z , sabendo que:
(a)
a +
b = (0, 3 , −2); (b) 2
a −
b = (6, 0 , 0); (c) −
a + 3
b = (− 8 , − 5 , 2).
- Sendo A, B , C , D e O pontos quaisquer no espaço, simplifique as seguintes expressões:
(a)
AB +
BO +
OA; (b)
BC +
OA −
OC ; (c)
OA +
BC +
DO −
BA.
- Sejam A e B dois pontos quaisquer e P o ponto médio do segmento AB.
Demonstre que
M A +
M B = 2
M P , para qualquer ponto M.
- Sejam AM , BN , e CP as medianas do triângulo ABC. Exprima os vectores
AM ,
BN e −−→ CP em função dos vectores
a =
BC e
c =
CA.
- Designando a, b os comprimentos dos vectores
a e
b , respectivamente, determine o ângulo
formado por
a e
b , sabendo que:
(a)
a ·
b = a · b; (b)
a ·
b = −a · b; (c)^
a ·
b =
a · b.
- Sendo |
u | = 4, |
v | = 5 e (
u ,
v ) = 120
◦ , calcule |
u +
v |.
- Usando a definição de produto interno, demonstre que num triângulo rectângulo, a altura
relativa á hipotenusa é média geométrica entre as projecções dos catetos sobre a hipotenusa.
- Seja ABC um triângulo equilátero de lado igual a 2 cm. M é o ponto médio de BC. Calcule:
(a)
AB ·
AC; (b)
AB ·
BC; (c)
AB ·
M A.
- Seja ABCD um rectângulo em que |AB| = 2 e |AD| = 3. M é o ponto médio de BC.
Calcule:
(a)
AC ·
AD; (b)
AM ·
AB; (c)
AM ·
DC.
- Determine
a ·
b e o ângulo entre
a e
b , sabendo que :
(a)
a = (5, 2),
b = (− 3 , 6);
(b)
a = (4, 3),
b = (1, 7);
(c)
a = (6, −8),
b = (12, 9);
(d)
a = (3, −5),
b = (7, 4).
Sejam A(1, 1), B(4, 2) e C(3, x). Determine x de modo que o triângulo ABC seja rectângulo.
No triângulo ABC ,
a =
BC ,
b =
CA e
c =
AB. Demonstre que
a ·
b +−→·−→+−→·−→ =
(a
2
2
2 ).
- Demonstre que se a = b, então
a +
b e
a −
b são perpendiculares entre si.
2.3 Produto Externo (ou Vectorial)
- Calcule |
a ×
b | se:
(a) |
a | = 1, |
b | = 2 e (
a ,
b ) = 120
◦ ; (b) |
a | = 10, |
b | = 2 e
a ·
b = 12.
- Ache as coordenadas do vector (
a ×
b ) ×
b , se
a = (3, − 1 , −2) e
b = (1, 2 , −1).
- Calcule |(
a +
b ) × (
a + 2
b )| e |(
a − 3
b ) × (
a −
b )|, sabendo que |
a | = 1, |
b | = 2
e (
a ,
b ) = 120
◦ .
- Calcule
a ·
b , se |
a | = 3, |
b | = 26 e |
a ×
b | = 72.
- Sejam
a = (3, − 1 , −2) e
b = (1, 2 , −1). Determine
a ×
b.
- Sejam
a = (2, − 3 , 1),
b = (− 3 , 1 , 2) e
c = (− 1 , − 2 , 2). Determine:
(a) (
a ×
b ) ×
c ; (b)
b × (
a ×
b ); (c)
b · (
a ×
b ).
- Demonstre que (
a ×
b )
2
a ·
b )
2 = |
a |
2 · |
b |
2 .
- Se
a ⊥
b e
a ⊥
c , mostre que
a × (
b ×
c ) =
- Calcule a área do paralelogramo construido pelos vectores:
(a)
a = 6
i + 3
j − 2
k e
b = 3
i − 2
j + 6
k ; (b)
a =
i e
b =
j −
k.
- Determine a área e as alturas do triângulo ABC , se:
(a) A(1, − 1 , 2), B(5, − 6 , 2) e C(1, 3 , −1); (b) A(1, 2 , 0), B(3, 0 , −3) e C(5, 2 , 6).
Calcule a área do quadrilátero com os vértices: A(− 5 , 0), B(− 3 , 2), C(1, 2) e D(4, −4).
Calcular a área do paralelogramo construido por vectores
a +
b e 3
a + b, sendo |
a | =
b | = 1 e o ângulo entre
a e
b é de 30
0 .
Calcular a área do triângulo ABC , se A(2, 2 , 2), B(4, 0 , 3) e C(0, 1 , 0).
Determine o ângulo entre
a e
b , se
a ·
b = 9 e
a ×
b = 3
i − 6
j + 6
k.
2.4 Produto misto
- Sabendo que
c é perpendicular aos vectores
a e
b , (
a ,
b ) = 30
◦ , |
a | = 6, |
b | = 3 e
c | = 3. Calcule (
a ,
b ,
c ).
a ,
b ,
c são perpendiculares dois a dois e formam um triedro direito, |
a | = 4, |
b | = 2 e
c | = 3. Calcule (
a ,
b ,
c ).
- sejam
a = (1, − 1 , 3),
b = (− 2 , 2 , 1) e
c = (3, − 2 , 5), calcule:
(a) (
a ,
b ,
c ); (b) (
b ,
a ,
c ); (c) (
c ,
b ,
a ).
- Sejam
a = (1, 2 , 2),
b = (0, 0 , −3) e
c = (− 2 , 4 , −3), calcule:
(a) (
a ,
b ,
c ); (b) (
b ,
a ,
c ); (c) (
c ,
b ,
a ).
- Prove que: (a) (
a ,
b ,
c ) = −(
a ,
c ,
b ); (b) (
a +
b ,
b +
c ,
c +
a ) = 2(
a ,
b ,
c ).
- Calcule o volume do paralelopípedo cujos lados são os vectores:
a = (1, − 3 , 1),
b = (2, 1 , −3)
e
c = (1, 2 , 1).
- calcule o volume do tetraedro ABCD onde:
(a) A(2, 3 , 1), B(4, 1 , −2), C(6, 3 , 7), D(− 5 , − 4 , 8).
(b) A(2, − 1 , 1), B(5, 5 , 4), C(3, 2 , −1), D(4, 1 , 1).
- Dados os pontos A(2, 1 , −1), B(3, 0 , 1) e C(2, − 1 , 3). O volume do tetraedro ABCD é igual
a 5. O vértice D está no eixo OY. Achar as coordenadas do vértice D.
- Mostrar que os vectores
a = 7
i − 3
j + 2
k ,
b = 3
i − 7
j + 8
k e
c =
i −
j +
k são
complanares.
- Calcule o volume da pirâmide triangular que tem vértices A(0, 0 , 1), B(2, 3 , 5), C(6, 2 , 3) e
D(3, 7 , 2).
- Verifique se são coplanares os seguintes vectores:
(a)
a = (2, 3 , −1),
b = (1, − 1 , 3) e
c = (1, 9 , −11);
(b)
a = (3, − 2 , 1),
b = (2, 1 , 2) e
c = (3, − 2 , −1);
(c)
a = (2, − 1 , 2),
b = (1, 2 , −3) e
c = (3, − 4 , 7).
- Determine o(s) valor(es) de x para que os pontos A(5, x, 2), B(3, 1 , −1), C(9, 4 , −4) e
D(1, 5 , 0) sejam coplanares.
2.6 Autovalores e Autovectores
- Ache todos os autovalores e autovectores correspondentes das matrizes:
(a)
[
]
(b)
[ √
]
(c)
(d)
(e)
- Para cada uma das matrizes, encontre todos autovalores e bases dos auto-espaços correspon-
dentes.
(a)
[
]
(b)
[
]
(c)
- Ache os autovalores e autovectores e uma base de autovectores para as matrizes.
(a) A =
(b)^ B^ =
(c)^ C^ =
[
]
Números Complexos
- Calcule: (a) i
8 ; (b) i
11 ; (c) i
42 ; (d)i
105 .
- Em cada alínea, esboce o ponto e o vector correspondente ao dado número complexo.
(a) 2 + 3i (b) − 4 (c) − 3 − 2 i (d) 5 i
- Expresse cada número complexo do exercício anterior como um par ordenado de números
reais.
- Expresse os seguintes números complexos na forma x + iy :
(a) 1 + 2i + 3i
2
3
4
5
(b) (3 + 5i) + (−2 + i);
(c) (−3 + 4i) − (1 − 2 i);
(d) (3 + 5i) + (−2 + i);
(e) (−3 + 4i) − (1 − 2 i);
(f) (3 − 5 i)(− 2 − 4 i);
(g) (3 − 5 i)(− 2 − 4 i);
(h) (1 + i)(1 − i);
(i) (2 + 3i)
2 .
(j) (1 + i)(2 + 3i)
2 ;
(k)
1 + i
5 + 2i
(l)
1 + i
1 − i
1 − i
1 + i
(m)
i
- Em cada alínea, encontre |z|:
(a) z = i (b) z = − 7 i (c) z = − 3 − 4 i (d) z = 1 + i (e) z − 8.
- Escreva a parte real e a parte imaginária e o módulo dos seguintes números complexos:
(a) z = 2 − 3 i;
(b) z = −3 + i;
(c) z = −1 + i
(d) z = (5 − i)(4 + i);
(e) z = (−1 + i)(3 − i);
(f) z = (1 + i)(1 − i) + i(1 + 2i).
(g) z = (1 − i)(
3 + i);
(h) z =
3 − 4 i
1 + 3i
(i) z =
1 + i
3 − 2 i
(j) z =
i
1 + i
- Para cada número complexo dado, encontre z
(a) z = 2 + 7i (b) z = − 3 − 5 i (c) z = 5i (d) z = −i (e) z = − 9.
- Em cada parte, encontre Re(z) e Im(z):
(a) z = 3e
iπ (b) z = 3e
−iπ (c) z =
2 e
i 2 π^ (d) z = 3e^2 iπ
- Expressa na forma x + iy , os números: (a) e
2+i ; (b) e
3 −i .
- Reduza à forma re
iθ cada um dos números complexos abaixos e represente-os geometrica-
mente:
