A Influência da Geometria na Construção de Obras de Arte: Aprendendo com Perspectiva, Notas de aula de Geometria

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Ficha para identificação da Produção Didático-pedagógica – Turma 2016 Título: A Influência da Geometria na Construção das Obras de Arte: Aprendendo com Perspectiva. Autor: Ivânia Mara Gabardo Disciplina/Área: Matemática Escola de Implementação do Projeto e sua localização: Colégio Estadual General Antônio Sampaio – Ensino Fundamental e Médio, situado na av. Carlos Cavalcanti nº 2145. Município da escola: Ponta Grossa Núcleo Regional de Educação: Ponta Grossa Professor Orientador: Prof. Dr. Jocemar de Quadros Chagas Instituição de Ensino Superior: Universidade Estadual de Ponta Grossa Relação Interdisciplinar: Matemática, História e Arte. Resumo: Esta produção Didático-Pedagógica é composta de sete ações. Cada ação apresenta orientações ao professor, fatos históricos da Matemática (através de textos e indicação de vídeos), e atividades para os alunos explorarem as relações entre a Geometria e a Arte. Pretendemos, com este trabalho, mostrar aos alunos que sempre é possível encontrar uma relação entre a Matemática e o cotidiano. Nosso propósito é mostrar o quanto a Matemática foi e é importante na História e na Arte, utilizando uma metodologia dinâmica para motivar o aluno. Palavras-chave: Ensino de Geometria; Perspectiva matemática; desenho/pintura. Formato do Material Didático: Unidade didática de Matemática. Público: Alunos do 9º ano do ensino fundamental.

1ª AÇÃO

1. Para começar, use sua criatividade e, numa folha em branco, faça um desenho de: a) Uma longa estrada; b) Um cubo; c) Um prédio. Quero que você capriche. Mas não se preocupe se seu desenho não ficar tão bom. Nas próximas aulas você irá aprender algumas técnicas que são usadas para desenhar. Orientação ao professor: 1º Momento: Distribuir aos alunos folhas de papel sulfite e solicitar que eles desenhem algumas imagens, como: uma estrada, um cubo, um prédio. O objetivo é fazer uma investigação dos conhecimentos prévios e habilidades de desenhar dos alunos. Estas atividades devem ser guardadas para uma futura comparação. 2º Momento: Assistir um vídeo sobre Geometria. 3º Momento: Conversar com os alunos sobre o vídeo e a interferência da Matemática na Arte. Carga horária 2 h/a

2 ª AÇÃO

Séculos antes de Cristo, os Pitagóricos descobriram um número que tem muita importância e aparecia em muitos lugares. Séculos depois de sua descoberta, esse número recebeu o nome de Número de Ouro e sua utilização, de Proporção Áurea. Este número teve e ainda tem muita influência na Geometria, nas Artes, na Arquitetura e na Biologia. É um número repleto de aplicações e mistérios, considerado por muitos como um presente de Deus à humanidade. Este número é chamado de Phi (que é a pronuncia da letra f grega), inicial do nome Fideas. Fideas foi um escultor e arquiteto grego, responsável pela construção do Partenon em Atenas. O número Phi é um número irracional , ou seja, pode ser representado como uma dízima não periódica. Para facilitar seu uso, muitas vezes ele é arredondado. Por exemplo, o seu valor arredondando para três casas decimais é 1,618. Orientação ao professor: 1º Momento: Trabalhar com os alunos o conceito do Número de Ouro e suas aplicações. Utilizando a TV pendrive, contar a história da descoberta deste número e mostrar imagens da sua existência na natureza e a sua utilização nas obras de arte e na arquitetura.

Carga horária 4 h/a

Exemplos em Obras de Arte:

O número de ouro (proporção áurea) tem sido muito utilizado na Arte. Vejamos alguns dos exemplos mais famosos: A Mona Lisa, de Leonardo da Vinci, tem a proporção áurea nas relações entre o tronco e a cabeça, e também nos elementos da face: Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6a/Mona_Lisa.jpg O auto-retrato de Leonardo da Vinci: Disponível em: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9e/Possible_Self-Portrait_of_Leonardo_da_Vinci.jpg

Exemplos na Arquitetura:

O Partenon foi um templo dedicado à deusa grega Atena, construído no século V a.C. na Acróplole de Atenas na Grécia Antiga, por iniciativa de Péricles, governante da cidade. Disponível em: http://img.cas.sk/img/21/article/1109932_pantheon-akropolis.jpg

Exemplo na Atualidade:

Disponível em: https://pixabay.com/p-1369111/?no_redirect

MODO DE DESENHAR A ESTRELA DE 5 PONTAS

1. Com o compasso, traçar uma circunferência com 5cm de raio. Para facilitar a medição, utilizar a malha quadriculada de 1cmx1cm.
2. Marcar um ponto de referência sobre a circunferência.
3. Como a circunferência mede 360º, ao dividir por 5 obtemos 72º. Com ajuda do transferidor, marcar um outro ponto na circunferência com a medida de 72º.
4. Com o compasso, pegar esta medida e marcar os demais 3 pontos. Marcar ainda o último ponto, que deve coincidir com o primeiro. Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo
5. Unir os pontos marcados com um segmento de reta, pulando sempre um.
6. Colocar letras maiúsculas nas pontas da estrela, para identificar os vértices. Orientação ao professor: 3º Momento: Construir uma estrela de cinco pontas no quadro, seguindo o passo a passo exposto a seguir. Pedir que os alunos reproduzam o desenho. Materiais necessários: régua, compasso, transferidor, caderno de folhas quadriculadas medindo 1cmx1cm.

7. Note que dentro da estrela existe um pentágono. Colocar letras maiúsculas nos vértices do pentágono. Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo
8. Após todos os alunos terminarem o desenho, desenhar na estrela do quadro várias estrelas dentro uma das outras.
9. Pedir para os alunos fazerem o mesmo em seu desenho. Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo
10. Contar quantas estrelas conseguiu desenhar, uma dentro da outra, no quadro. Pedir aos alunos que contem quantas estrelas eles conseguiram desenhar.
11. Deu diferença no número de estrelas? Por quê isso aconteceu?

MODO DE DESENHAR O RETÂNGULO ÁUREO

1. Construir um quadrado ABCD na malha quadriculada. Achar o ponto médio do segmento AD, e marcar com a letra maiúscula M. Com a ponta seca do compasso em M e o grafite em C, traçar um arco como mostra o desenho. Estender o segmento AD até interceptar o arco, e marcar este ponto com a letra E. A base do retângulo será o segmento AE. Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo
2. Traçar um novo segmento formando um ângulo reto com o segmento AE. Estender o segmento BF até interceptar este novo segmento. Marcar com a letra F. Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo
3. Pronto. Obtemos o retângulo áureo, e se retirarmos o quadrado ABCD, o que sobrar será um novo retângulo áureo. Orientação ao professor: 4º Momento: Construir o retângulo áureo com os alunos, seguindo o passo a passo a seguir. Materiais necessários: régua, compasso, caderno de folhas quadriculadas medindo 1cmx1cm.

4. Refazer este processo no novo retângulo, achando o quadrado. O restar será um novo retângulo áureo, e assim sucessivamente. Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo
5. Em seguida, com o compasso traçar a espiral.
6. Observe a construção do retângulo áureo e da espiral. Na malha quadriculada, construa você também um retângulo áureo, seguindo as orientações. A seguir, desenhe também uma espiral.
7. Agora, utilizando seu desenho: a) Utilize uma régua, e meça o comprimento do retângulo ABFE: ________ b) Agora, meça a altura do retângulo ABFE: ________ c) Usando uma calculadora, calcule a razão entre o comprimento e a altura do retângulo. d) Que número você achou? _____________

1. Em um papel com malha quadriculada de 1cm de lado, desenhe: a) Um retângulo com 4cm de comprimento e 3cm de largura. b) Outro retângulo com o dobro das dimensões do retângulo inicial. c) Calcule a razão entre o comprimento do retângulo maior e do menor ______ d) Calcule a razão entre a largura do retângulo maior e do menor ___________ e) As razões são iguais? __________ f) Escreva a igualdade das razões: ________________________ g) Os retângulos são semelhantes? ________________________
   2. Agora construa um retângulo mantendo a medida do comprimento do retângulo inicial, e dobrando somente a sua largura. a) Calcule a razão entre o comprimento do retângulo maior e do menor _______ b) Calcule a razão entre a largura do retângulo maior e do menor ___________ c) As razões são iguais? __________ d) Os retângulos são semelhantes? _____________ Na atividade que você acabou de fazer, as razões obtidas foram iguais? Isso ocorre porque existe uma proporção entre as medidas dos elementos desses retângulos. Como as razões obtidas não são iguais, os retângulos não são proporcionais.

3. As figuras apresentadas abaixo são semelhantes. Calcule a razão de ampliação entre elas. MODO DE CONSTRUIR TRIÂNGULOS SEMELHANTES
4. Desenhar um retângulo de 10cmx6cm na malha quadriculada. Tracejar uma de suas diagonais. Recortar o retângulo. Cortar também na linha pontilhada, formando 2 triângulos iguais. Fonte: Professora PDE Ivânia Mara Gabardo Orientação ao professor: 4º Momento: Fazer uma atividade de desenho e recorte, explicada a seguir, para explicar o conceito de triângulos semelhantes.

1. Seguindo as orientações dadas, desenhe um retângulo medindo 10cmx6cm na malha quadriculada de 1cm de lado e recorte, conforme as orientações, para encontrar triângulos semelhantes.

QUE TAL UTILIZAR O QUE VOCÊ APRENDEU?

Ângulos iguais = ângulos correspondentes

Caro professor, sugiro que neste momento você pegue os triângulos construídos por dois alunos para mostrar os triângulos iguais e semelhantes. Como você já viu, figuras semelhantes possuem lados proporcionais. Nas atividades a seguir, você irá trabalhar com triângulos semelhantes, e poderá ver que a semelhança de triângulos possui várias utilidades na matemática. a = b ou a = a’ a’ b’ b b’

Tales de Mileto foi um filósofo e matemático grego que viveu entre 624 a.C. e 547 a.C.. Do pouco que sabe-se a seu respeito. Muitos de seus conhecimentos procederam de viagens que ele fez, e em uma delas ele esteve no Egito, onde aplicou o conceito de semelhança de triângulos para medir a altura de uma pirâmide. Foi daí que surgiu o famoso Teorema de Tales. Orientação ao professor: 5º Momento: Apresentar Tales de Mileto, dando a conhecer um pouco da História do Teorema de Tales. 6º Momento: Explicar a aplicação do teorema de Tales. 7º Momento: Realizar atividades utilizando o teorema de Tales. 8º Momento: Atividades utilizando o conceito de semelhança de triângulos para resolver situações problemas. Teorema de Tales: Se um feixe de retas paralelas é cortado por duas retas transversais, então os segmentos determinados numa das retas transversais são proporcionais aos segmentos determinados na outra.

AB = A’B’

BC B’C’

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