Baixe 03 Solução de Equações Algébricas-CálculoNuméric2015 VEJA e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
3. Solução de Equações Algébricas
3.1 Zero de Função ou Raiz de Equação 3.2 Interpretação Geométrica 3.3 Tipos de Equações 3.4 Solução de Equações 3.5 Solução Analítica de Equações 3.6 Fases 3.7 Exercícios Resolvidos 3.8 Exercícios Propostos 3.9 Para saber mais
4. Localização Isolamento de Raízes
4.1 Teorema 1 - Número de Raízes 4.2 Teorema 2 - Multiplicidade de Raízes 4.3 Regra de Ruffini 4.4 Teorema 3 - Teorema de D'Alembert 4.5 Redução do grau de polinômios 4.6 Teorema 4 - Teorema de Cauchy-Bolzano 4.7 Teorema 5 - Teorema de Bolzano 4.8 Teorema 6 – Raiz Única 4.9 Fase-I: Localização e Isolamento das raízes 4.10 Teorema 7 - Critério de Parada 4.11 Exercícios Resolvidos 4.12 Exercícios Propostos 4.13 Para saber mais
5 Métodos de Refinamento
5.1 Resumo do método iterativo 5.2 Método da Bisseção 5.3 Método da Posição Falsa 5.4 Método do Ponto Fixo (MPF) ou das Aproximações Sucessivas 5.5 Método de Newton-Raphson 5.6 Método da Secante 5.7 Exercícios Propostos 5.8 Para saber mais
Solução de equações
Unidade II
6. Sistemas de Equações Lineares
6.1 Problema unidimensional 6.2 Problema bidimensional 6.3 Problema tridimensional 6.4 Sistema Linear 6.5 Dependência e Independência Linear 6.6 Sistemas Lineares com Vetores e Matrizes 6.7 Conceitos Básicos 6.8 Classificação dos Sistemas Lineares 6.9 Métodos Numéricos para resolução de Sistemas Lineares 6.10 Método Direto – Regra de Cramer 6.11 Método Direto – Gauss-Jordan 6.12 Método Direto – Eliminação de Gauss a) Etapa- b) Etapa- c) Comparação com Gauss-Jordan d) Exemplo e) Pivoteamento Parcial f) Pivoteamento Total 6.13 Esforço Computacional dos Métodos Diretos 6.14 Método Direto – Fatoração LU (Lower-Upper) 6.15 Introdução aos Métodos Iterativos 6.16 Método Iterativo de Gauss-Jacobi 6.17 Método Iterativo de Gauss-Seidel 6.18 Interpretação Geométrica 6.19 Avaliação da Convergência dos Métodos Iterativos 6.20 Exercícios Propostos
Equações Diferenciais - envolvem além da função - a incógnita – também as suas derivadas obtidas com o operador df/dx (derivada)ou f /x (derivada parcial). Equações Integrais – - envolvem além da função - a incógnita – também a sua integral obtida com o operador f.dx. Equações de Diferenças Finitas – são obtidas através do operador de diferenças finitas
3.4 Solução de Equações
Algumas equações podem ser resolvidas analiticamente, i.e., algumas raízes podem ser calculadas exatamente através de métodos analíticos. São as equações: Algébricas do primeiro e segundo grau Certas classes de equações algébricas do terceiro e quarto grau Algumas equações transcendentes.
3.5 Solução Analítica de Equações
A solução analítica de um dado polinômio f (x) com grau n é a expressão que determina as suas raízes, em função de seus coeficientes, envolvendo somente as operações algébricas fundamentais e mais a extração de raízes quadradas, cúbicas, etc.
(A) Solução Analítica de Equação de 1º Grau (Linear)
As equações algébricas do primeiro grau são as mais simples que se podem encontrar, e são redutíveis por manipulação algébrica ao formato: ax + b = 0 equação da reta y = ax + b cuja solução é: y = ax + b = 0 ax = - b x = - b / a
(B) Solução Analítica da Equação de 2º Grau (Cônica)
Manuseada desde o Antigo Egito, há cerca de 700 anos A. C., a equação de 2º grau foi posta na forma como hoje conhecemos somente no século XII, graças à contribuição de Baskhara (matemático hindu) que descreveu sua solução em versos, hoje conhecida como Método de Baskhara:
ax^2 + bx + c = 0 Multiplicando os dois lados por 4a:
4a (ax^2 + bx + c) = 4a .0
4a^2 .x^2 + 4a.b.x + 4a.c = 0 4a^2 .x^2 + 4a.b.x = - 4a.c
Adicionando b^2 aos dois lados: 4a^2 .x^2 + 4a.b.x + b^2 = b^2 - 4a.c Primeiro membro é um quadrado perfeito: (2a.x + b)^2 = b^2 - 4a.c Extraindo raiz quadrada:
2 ax b b^2 4 ac 2 ax b b^2 4 ac
a
b b ac
x
^2 4
Define-se: = discriminante = = b^2 - 4a.c
Então:
a
b
x
Círculo
Parábola
Hipérbole
Bhaskara Akaria (1114-1185)
Elípse
Soma de raízes: x 1 + x 2 = - b/a ; Produto raízes: x 1. x 2 = c/a Logo, para a=1 x^2 – ( x 1 +x 2 ) x + ( x 1. x 2 ) = 0
(C) Solução Analítica da Equação de 3º Grau (Cúbica)
A solução da equação cúbica foi realizada em segredo no século XVI por del Ferro (1465?-1526), e mais tarde, de forma independente, também por N. Tartaglia (1500?-57).
Em 1545, no livro "Ars Magna", G. Cardano (1501-76) publicou a solução da equação cúbica, naturalmente com as devidas referências a del Ferro e Tartaglia.
As equações algébricas do terceiro grau são redutíveis à forma:
x^3 + ax^2 +bx +c =0 Adicionando termos nulos:
x^3 .a.x^2 3(a/3)^2 x 3(a/3)^2 x +b.x +c + a – a 0
x^3 a )x^2 3(a/3)^2 x a +(b- a^2 /3 )x+a.b/3-a.b/3 +a^3 /3^2 - a^3 /3^2 +c –
a^3 /27 0. Mais termos nulos são adicionados:
(x + a/3)^3 +(b- a^2 /3 )x+a.b/3-a.b/3 +a^3 /3^2 - a^3 /3^2 +c – a^3 /27 0
(x + a/3)^3 +(b- a^2 /3 )x+(b-a^2 /3)a/3+a^3 /3^2 – a^3 /27 -a.b/3 +c 0 (x + a/3)^3 +(b- a^2 /3 )(x+a/3)+(3a^3 – a^3 )/27 -a.b/3 +c 0
(x + a/3)^3 +( b-a^2 /3 )(x+a/3)+ 2a^3 /27 -a.b/3 +c 0
colocando: p = b - a^2 /3 e q =2a^3 /27- a.b/3 + c , tem-se: (x + a/3)^3 + p.(x + a/3) + q = 0
Fazendo x = – a/3 tem-se: ( – a/3 + a/3)^3 + p ( – a/3 + a/3) + q = 0
Obtém-se a equação reduzida é: ^3 + p. + q = 0
Se = u + v , tem-se:
(u+v)^3 +p(u+v)+q = 0 u^3 +v^3 +q+(3uv+p)(u+v) = 0
Ou seja: u^3 + v^3 = −q 3uv = −p Sistema, com a soma e o produto das raízes (pode ser resolvido facilmente por uma equação do 2º grau): u^3 + v^3 = −q u^3 v^3 = (−p/3)^3 u^3 e v^3 são as raízes da equação quadrática resolvente : y^2 + qy − p^3 /27 = 0 Pela fórmula de Baskhara para equação do 2º grau:
1
q q p
y
e
2
q q p
y
Ou seja: / 27
3
2 3 2
1 p
q q p q q
y
Girolamo Cardano (1501 – 1576)
(x + a/3)^3
Nota: p q (x+a)^3 = x^3 +3ax^2 +3a^2 x+a^3
Nota: Relações de Girard para Eq.2º grau: Dado as raízes x 1 e x 2 tem-se: ( x - x 1 ).(x-x 2 ) = 0 x .(x-x 2 ) – x 1 .(x-x 2 ) = 0 x^2 – x.x 2 – x.x 1 +x 1 .x 2 = 0 x^2 – x( x 2 +x 1 ) + x 1 .x 2 = 0
Soma Produto
Fazendo = u+v+z , e elevando-se ao quadrado ambos os lados fica:
^2 = (u+v+z)^2 ^2 - (u+v+z)^2 = 0 ^2 – [(u^2 +v^2 + z^2 )+2(uv+uz+vz)]= 0
^2 – (u^2 +v^2 + z^2 )-2(uv+uz+vz)=0 ^2 – (u^2 +v^2 + z^2 )=2(uv+uz+vz)
Elevando novamente ao quadrado: [ ^2 − (u^2 +v^2 +z^2 ) ]^2 = 4(uv + uz + vz)^2
4 − 2(u^2 +v^2 + z^2 ) ^2 + (u^2 +v^2 + z^2 )^2 = 4[u^2 v^2 + u^2 z^2 + v^2 z^2 + 2(u^2 vz +
uv^2 z + uvz^2 )]
4 − 2(u^2 +v^2 + z^2 ) ^2 + (u^2 +v^2 + z^2 )^2 = 4(u^2 v^2 + u^2 z^2 + v^2 z^2 )+8uvz(u+v
+z)
4 − 2(u^2 +v^2 + z^2 ) ^2 + (u^2 +v^2 + z^2 )^2 = 4(u^2 v^2 + u^2 z^2 + v^2 z^2 )+8uvz( )
4 − 2(u^2 +v^2 + z^2 ) ^2 − 8(uvz) + [( u^2 +v^2 + z^2 )^2 −4(u^2 v^2 + u^2 z^2 + v^2 z^2 )] = 0.
Assim, comparando com ^4 + p. ^2 + q. + r = 0 (*) tem-se:
u^2 +v^2 + z^2 = −p/ uvz = −q/ u^2 v^2 + u^2 z^2 + v^2 z^2 = (p^2 − 4r)/ Elevando ao quadrado a segunda igualdade: u^2 +v^2 + z^2 = −p/ u^2 v^2 z^2 = −q^2 / u^2 v^2 + u^2 z^2 + v^2 z^2 = (p^2 − 4r)/ Assim, tem-se que u^2 ,v^2 e z^2 são as raízes da cúbica resolvente (ver Relações de Girard em Nota ao lado): y^3 + ( p/2 )y^2 + [( p^2 − 4r)/16 ]y − q^2 /64 = 0 Cuja solução fornece os números complexos: u^2 = α, v^2 = β, z^2 = γ. Escolhendo duas raízes quadradas u = √α e v = √β , determina-se z = −q/8uv. Como γ = z^2 = q^2 /64u^2 v^2 = (−q/8uv)^2.
Assim, = √α + √β + √γ é uma raiz de (*). Tem-se então as quatro raízes:
(E) Solução Analítica de Equações 5º Grau
Para as equações de grau 4 é possível encontrar os valores das incógnitas à custa de operações elementares - adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raiz de índice inteiro.
Para equação algébrica de grau n ≥ 5 tem-se: a 0 + a 1 x + ... + anxn^ = 0
onde ai (i = 0, 1, ..., n), an 0. (^) Évarist Galois (1811-1832)
Raiz é =u+v+z
Raiz é =u^2 +v^2 +z^2
Nota: Relações de Girard para cúbica resolvente Dado as raízes x 1 , x 2 e x 2 tem- se: (x-x 1 ).(x-x 2 ).(x-x 3 ) = 0 x.(x-x 2 ).(x-x 3 ) – x 1 .(x-x 2 ).(x-x 3 )= (x^2 – x.x 2 ).(x-x 3 ) – (x.x 1 - x 1 .x 2 ). .(x-x 3 ) = 0 (x^3 – x^2 .x 3 – x^2 .x 2 + x.x 2 .x 3 ) –
- ( x^2 .x 1 - x.x 1 .x 3 - x.x 1 .x 2 - x 1 .x 2 .x 3 ) = 0 x^3 – ( x 1 +x 2 +x 3 )x^2 - ( x 2 .x 3 +x 1 .x 3 + x 1 .x 2 ).x – ( x 1 .x 2 .x 3 ) = 0 x 1 +x 2 +x 3 = soma das raízes x 2 .x 3 +x 1 .x 3 + x 1 .x 2 = soma prod. x 1 .x 2 .x 3 = produto das raízes
Nota: Equação biquadrática é uma equação do 4º grau que apresenta a seguinte forma:
px^4 qx^2 r
Colocando y = x^2 obtém-se
py^2 qy r
que é uma equação do 2º grau facilmente resolvida
No final do século XVIII, o matemático italiano P. Ruffini deu uma prova (com algumas lacunas em sua argumentação) da impossibilidade de se resolver por radicais a equação do 5.o grau.
A primeira prova convincente da impossibilidade de resolução da equação quíntica foi estabelecida, no início do século XIX, pelo matemático norueguês N. H. Abel (1802-29).
O trabalho de Abel foi completado pelo gênio francês E. Galois (1811-32), que caracterizou as equações f (x) = 0, com grau arbitrário n , que são solúveis por radicais, por meio de uma propriedade de certo grupo Gf de permutações de suas raízes, atualmente denominado o grupo f de Galois.
Assim, os matemáticos Evaristo Galois e Henrique Abel acabaram demonstrando que não é possível obter solução analítica para equações algébricas completas de grau superior a quatro. Conclui-se, portanto, que a equação geral de grau n ≥ 5 não pode ser resolvida por radicais.
Assim, para polinômios de grau superior a quatro e para a grande maioria das equações transcendentes o problema só pode ser resolvido por métodos numéricos
3.6 Fases
O cálculo numérico de uma raiz é feito em duas fases
Fase-I: Localizar a raiz num intervalo [a,b]; Isolamento das raízes – obter intervalo que contém a raiz determinar um intervalo [ a; b ], o menor possível, que contenha uma única raiz
Fase-II: Refinamento – obter aproximação para a raiz dentro de um a determinada precisão
3.7 Exercícios Resolvidos
3.7.1 Resolver: x^3 − x − 1 = 0
Solução:
Repare que a equação já está na forma reduzida 3 + p. + q = 0 temos:
p = −1 e q = −1. Portanto 3 2 3 3 2 3 1 q / 2 q / 4 p / 27 q / 2 q / 4 p / 27
1 ^3 ^1 / 2 12 / 4 13 / 27 ^3 ^1 / 2 12 / 4 13 / 27 =
1 ^31 / 2 ^27 4 /^4 27 ^ ^31 / 2 27 4 /^4 27 3 3 1 1 / 2 23 / 108 1 / 2 23 / 108
Niels Henrik Abel (1802-1829)
Paolo Ruffini ( 1765 - 1822)
1 = A + B = -
x 1 = 1 – a/3 x 1 = -2/3 – (-5)/3 = (-2 + 5) / 3 = 3/3 =
2 = -(A + B)/2 + (A – B) -3 /2 = -(-2/3)/2 + (0) -3 /2 =+1/
x 2 = 2 – a/3 x 2 = 1/3 – (-5)/3 = (1 + 5) / 3 = 6/3 =
3 = -(A + B)/2 - (A – B) -3 /2 = -(-2/3)/2 - (0) -3 /2 =+1/
x 3 = 3 – a/3 x 3 = 1/3 – (-5)/3 = (1 + 5) / 3 = 6/3 =
As raízes são 1, 2 e 2
3.8 Exercícios Propostos
3.8.1 Resolver: x^3 -5x^2 +7x -3 = 0
3.8.2 Resolver: x^3 -3x^2 -9x +27 = 0
3.8.3 Determinar a soma e o produto das raízes das equações
(A) f(x) = x^2 - x - 2
(B) f(x) = 2x^2 - 4x - 16
(C) f(x) = 2x^2 + 8x
(D) f(x) = 4x^2 - 24x + 36
(E) f(x) = x^2 – 25
3.9 Para saber mais
[1] RUGGIERO, Márcia A.Gomes, LOPES, Vera Lúcia da Rocha. Cálculo Numérico – Aspectos Teóricos e Computacionais. São Paulo: Pearson Makron Books, 2005 [2] BASTOS, G. G. Notas de Álgebra. Fortaleza: Edições Livro Técnico, [3] HUDSON, Ralph G. Manual do Engenheiro. Rio de Janeiro: LTC, [4] BEYER, William H. CRC Standard Mathematical Tables .West Palm Beach: CRC Press, Inc, 1978 [5] ALBRECHT, P. Análise Numérica: Um curso moderno. Rio de Janeiro: Editora LTC [6] HUMES, A. F. P. Noções de cálculo numérico. São Paulo: Editora Mc Graw-Hill do Brasil [7] CONTE, S. D. Elementos de Análise Numérica. São Paulo: Editora Globo [8] STARK, A. P. Introdução aos métodos numéricos. Rio de Janeiro: Editora Interciências
