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Baixe 0014 Transmissao de Energia Eletrica.-.Rubens Dario Fuchs Vol2 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
Transmissão de Energia Elétrica Linhas Aéreas RUBENS DARIO FUCHS NO LTC / EFEI OUTRAS OBRAS DO NOSSO FUNDO EDITORIAL CLOSE, Charles M. — Análise de “Circuitos Lineares. Vols. 1e 2 CREDER, Hélio — Instalações Elétricas DINIZ, Aroldo B. e FREIRE, Gabriel F. O. — Ondas Eleiromagnéticas ELLISON, A. J. — Conversão Eletromecânica de Energia GRAY, Paul E., DEWITT, David, Boothroyd, A. R.e GIBBONS, James F. — Eletró- nica Física e Modelos de Circuito de Transistores GRAY, Paul E. e SEARLE, Campbell L. — Princípios Eletrônicos de Eletrônica. Vols. 1a 3 GRAY, Alexander e Wallace, G. A. — Eletrotécnica GRONNER, Alfred D. — Análise de Circuitos Transistores HOUPIS, Constantine H. e LUBELFELD, Jerzy — Técnica de Puisos MELLO, Hilton Andrade de e INTRATOR, Edmond — Dispositivos Semicondutores NOVO, Darcy Domingues — Eletrônica Aplicada. Vols 1 e 2 SEARLE, Campbell L., BOOTHROYD, A. R., ANGELO, E.J., Jr, GRAY, Paul E. e PEDERSON, Donald O. — Propriedades Elementares de Circuitos dos Transistores SILVESTER, P. — Campos Eletromagnéticos Modernos SLEMON, Gordon R. — Equipamentos Magnetelétricos — Transdutores, Transfor- muadores e Máquinas. Vols. le 2 SMITH, RalphJ. Circuitos, Dispositivos e Sistemas. Vols. 1 e 2 STOUT, Melville S. — Curso Básico de Medidas Elétricas WEEDY, B. M. — Sistemas Elétricos de Potência WELLAUER, Max — Introdução à Técnica das Altas Tensões TRANSMISSÃO DE ENERGIA ELÉTRICA Linhas Aéreas Volume 2 Copyright (E) , 1977, Rubens Dario Fuchs Proibida a reprodução, mesmo parcial, e por qualquer processo, sem autorização expressa do autor e do editor. CAPA/ AG Comunicações visual ltda (Preparada pelo Centro de Catalogação-na-fonte do SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, Rd) ro Fuchs, Rubens Dario, F966 Transmissão de energia elétrica: linhas aéreas; teoria das linhas em regime permanente. Rio de Ja- neiro, Livros Técnicos e Científicos; Itejubé, Escola Federal de Engenharia, 1977. pe ilust, Apêndice: Tabelas Bibliografia. 1. Distribuição de energia elétrica 2. Energia eté- trica 3. Linhas efétricas — Aéreas Título II-Título: Teoria das linhas em regime permanente cDD — 621.3192 77-0337 CDU — 621.3151 Direitos reservados: LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA S.A. Avenida Venezuela, 163 — ZC14 20.000 — Rio de Janeiro, R$ 1977 impresso no Brasil A minha querida esposa e filhas Magda Cecília Elizabeth Celina Dária Célia Inês Annelise Danielle Prefácio Em 1968 foi publicada um coleção de Notas de Aula, preparadas do afogadilho, com o fim única de acompanhamento das preleções da disciplina Transmissão e Distribuição de Ener- gia Elétrica, que, nessa época, era introduzida no currículo de graduação do curso de Engenheiros Eletricistas da Escola Federal de Engenharia de Itajubá. Sua repercussão foi imediata, exigindo sucessivas reimpressões, dada a inesperada procura não somente pelos alunos a quem se desti- navam, como tembém, e principalmente, por engenheiros militantes no ramo. Imperfeições e incorreções por certo as havia, e deviam ser sanadas. Originafidade, nenhuma, exceto, talvez, o idioma português. Durante o processo de revisão e complementação, a idéia de transformá-las em livro foi tomando corpo. O estímulo de colegas foi decisivo. A ambição também cresceu: não bastava um livro-texto para cursos normais ce graduação em Engenharia Elétrica. Devia servir também aos cursos de pós-graduação e aos engenheiros no exercício da profissão. Uma edição experi- mental, feita em 1973, em “multikith”, também se esgotou rapidamente, comprovando o interesse pelo assunto. É, antes de tudo, uma compilação bibliográfica. Porém, em se considerando a escassez de materiel bibliográfico à disposição de estudantes 8 engenheiros em geral, terá, sem dúvida alguma, sua utilidade. Informações baseadas na experiência profissional foram incluídas, onde cabível. A bibliografia de referência consultada está indicada no final de cada capítulo. É variada 8m suas origens, na presunção de que, estando o Brasil procurando sua própria tecnologia, deve- mos buscar a composição das boas práticas de qualquer origem, para atingir um ótimo nosso, É também bastante atualizada. O tratamento dado aos diversos tópicos é aquele que se poderia chamar de clássico, pro- curando-se, dentro do possível, a generalização dos processos de enfoque de problemas de mesma natureza. Processos gráficos de cátculo e análise das condições de operação das linhas foram empregados por sua natureza fotográfica. A análise qualitativa dos fenômenos merece especial destaque. xu Cras Core Cro Co, Cao: Cos te 1Cogl -DMG SIMBOLOGIA E ABREVIAÇÕES Capacitância entre circuitos sequenciais Matriz das capacitâncias Matriz das capacitâncias da linha trifásica, sem cabos pára-raios equivalente Constante generalizada dos quadripolos Matriz da constanté É de uma linha trifásica Diâmetro dos condutores Diâmetro de um condutor cilíndrico equivalente a um condutor múltiplo de mesmo gradiente Distância entre condutores / e 7 Densidade de Fluxo elétrico, Determinante de uma matriz Distância do condutor 7 & a imagem do condutor j Raio médio geométrico dos condutores múltiplos Distância média geométrica Distância média geométrica entre fasês de um mesmo circuito Distância média geométrica entre condutores e ima- gens dos condutores vizinhos Distância média geométrica entre condutores de cir- cuitos paralelos, de mesma fase Distância média geométrica entre condutores de cir- cuitos paralelos, de fases diferentes Constante generalizada dos quadripolos Matriz da constante Ô de uma linha trifásica Número-base dos logaritmos naturais = 2,71828 . Gradiente de potencial, intensidade de campo elétrico. Energia Gradiente crítico visual (de Peck) Frequência Coeficientes de campo magnético próprios Coeficientes de campo magnético mútuos Matriz das indutâncias de um sistema de condutores farad (abr.) Condutância por unidade de comprimento Condutância total de uma linha Matriz das condutências de » condutores Co-fator de uma matriz 10º (GIGA) Valor em “por unidade” de uma grandeza G - Altitude, horas Altura média do condutor genérico é sobre o soto Altura média geométrica dos condutores sobre o soto SIMBOLOGIA E ABREVIAÇÕES RMG Ro (Cy xm Intensidade de campo magnético Altura de fixação de um condutor genérico Henry tabr.l Heriz (abr.) Corrente elétrica — valorinstantâneo, condutor genérico Corrente elétrica — módulo Fasores das correntes nas fases a, b,c,... Vetor de correntes Parte imaginária de um conplexo É Condutor genérico, ou operador Jouie (abr,) Constantes de proparcionalidade, quilo (abr.) 10: 4 10º :m 108" v 10º VA 10º: VAr 10º: w Comprimento Indutância Coeficiente de superficie dos condutores Metro (abr. Número de elementos Mega — 108 10º VA 108 - VAr 108 W Número de elementos, potência aparente Potência coinplexa Operador Potência ativa Circuito equivalente de tinha Por unidade Carga elétrica Potência reativa Raio de um condutor; resistência elétrica por unidade de comprimento de um condutor Raio de um condutor cilíndrico equivalenre a um con- Raio do cfrculo que passa pelo centro dos subcondu- tores em um condutor múltiplo. Resistência elétrica total de um condutor. Raio Médio Geométrico Parte real de um complexo € Xe * r NANÍNNN OS E N - e g % SIMBOLOGIA E ABREVIAÇÕES Tempo, temperatura em *C Período, temperatura em “K Circuito equivalente de linha Valor instantâneo da tensão Tensão entre fase e neutro (módulo) Fasor de tensão Tensão entres fases (módulo) Vetor de tensões Velocidade ou celeridade de propagação Voir (abr) Wiatt tabr.) Deslocamento, distância genérica Reatância indutiva par unidade de comprimento Reatância capacitiva em uma unidade de comprimento Reatância indutiva em ohm/km para espaçamento de 1m Reatância capacitiva em Mohm + km para espaçamento detm Fator de espaçamento indutivo Fator de espaçamento capacitivo Fator indutivo de acoplamento mútuo entre dois circuitos Fator capacitivo de acoplamento mútuo entre dois circuitos Reatância indutiva total Reatância capacitiva tota! Reatância indutiva de sequência nula Reatância indutiva de sequência positiva Reatência indutiva de seqiiência negativa Admitância por unidade de comprimento Admitância total Impedância por unidade de comprimento Impecência total Impedância característica Impedância natural ou impedância de surtos Impedância de sequência nula Impedância de sequência positiva Impedância de sequência negativa Função de atenuação, ânguto Coeficiente de aumento de resistência com a tempera- tura Função de fase Ângulos SIMBOLOGIA E ABREVIAÇÕES ss E gs. ABNT AIEE EdeF EHV IEE IEEE CEMIG CESP CHESF FURNAS CPFL xv Função-de propagação Densidade refativa do ar, coeficiente de desuniformida- de Variação incremental Permissividade do meio Permissividade do vácuo = 8,859 + 107"? [a's/V'm] Permissividade relativa do meio Angulo de potência da linha Vetor de transformação Constante de permeabilidade magnética jade do vácuo = 47 10"? Constante de permeabi =] Constante de permeabilidade relativa Pi= 314159... Resistividade elétrica Ângulo de fator de potência Fluxo magnético, ângulo do fator de potência Frequência angular Associação Brasileira de Normas Técnicas American Institute of Electrical Enginsers Eletricité de France Equipe de projeto Extra High Voltage Rescorch Program General Electric — Edison Institute The Institute of Electrical Engineers — Londres Institute of Electrical and Electronics Engineers Centrais Elétricas de Minas Gerais S, A. Centrais Elétricas de São Paulo S.A: Cia. Hidroelétrica do São Francisco S. À Centrais Elétricas de Furnas S. A. Companhia Paulista de Força e Luz S. A. 1 SUMÁRIO 7.41,.2 -- Linhas a circuito simples com cabos pára-raios, 337 7.11.3 Linha trifásica a circuito duplo com dois cabos pára-raios, 340 711.4 — Linhas com condutores múltiplos, 342 7.12 — Linhas com desequilíbrio eletromagnético, 342 7.18 — Exercícios, 32 7.14 — Bibliografia, 373 B— Capacitâncias, Reatâncias a Susceptâncias Capacitivas das Linhas de Transmissão, 375 81— Generalidades, 375 82- Relações fundamentais, 375 8.2.1 — Diferença de potencial entre dois condutores carregados, 378 8.2.2 — rença de potencial entre um condutor e um neutro, 380 a23- rença de potencial entre um condutor e o solo, 381 8.2.4 — Campo elétrico de dois condutores suspensos sobre o-solo, 382 8.25 - Campo elétrico de um número qualquer de condutores suspensos sobre o solo, 383 83-— Capacitâncias das linhas de transmissão, 389 831 — Cap: incia das linhas monofésicas, 391 8.3.2 — Capacitâncias das linhas de transmissão trifásicas, 395 8.321 — Linha trifásica simples, sem cabos pára-raios, 396 8.3.2.1,1 — Capacitâncias das linhas com condu- tores múltiplos, 402 8.3.2.2. ha trifásica simples com um cabo pára-raios, 495 8.3.2.3 —- Linha trifásica a circuito simples com dois ou mesm. mais cabos pára-raios, so 8.324 -— Linhas trifásicas a circuito duplo, 411 84 Reatâncias capacitivas, 418 84.1 -— Definição, 418 8.4.2 - Tabelas de reatâncias capacitivas, “419 84.3 Reatâncias capacitivas de 2 circuitos em paralelo, 420 85-- Susceptância capacitiva, 421 86 Reatâncias e susceptâncias capacitivas de sequências positiva e nula por método direto, 422 8.6.1 — Reatâncias capacitivas, 422 8.6.2 —- Susceptâncias capacitivas, 424 8&7- Considerações finais, 424 &8- Exercícios, 425 89- Bibliografia, 448 9 -- ; Resistências das Linhas de Transmissão, 4aag 91 Introdução, 449 SUMÁRIO XIX 92- Resistência à corrente côntinua, 450 93- Resistência à corrente alternada, as2 94- Resistência dos circuitos com retorno pelo solo, ass 8.5- Resistência aparente adicional, ase 96 Exercícios, 457 97- Bibliografia, as 10 Condutância de Dispersão e Efeito Corona, as 10.3 — Introdução e conceituação, 462 10.2— Perdas nos isoladores, 462 103- O efeito corona, se3 10.3.1 — Formação dos eflúvios de corona, 466 10.4 Previsão do desempenho das linhas quanto à formação de corona, a70 19.5- Gradientes de potencial na superfície dos condutores, am 10.5.1 — Raio equivalente de um condutor múltiplo, am 10.5.2 — Determinação dos gradientes de potencial nos condutores das linhas de transmissão, “78 10.5.2.1 — Gradientes médios em linhas com condutores simples, 481 10,5.2.2 — Gradientes médios em linhas com condutores múltiplos, aB3 10.5.2.3— Determinação do coeficiente de irregularidade, asa 10.53 — Métodos gráficos para o cálculo dos gradientes de potencial, asa 10.6 Análise quantitativa das manifestações do efeito corona, ago 10.6.1 — Radiointerferência, ago 10,6.1,1 — Indices de Radiointerferência, 491 10.6.1,2 — Predeterminação do nível de ruídos causados por linhas de transmissão, 493 10.62 — Ruídos acústicos, 498 1.6.3 — Perdas de energia por corona, sot 10.6.3.1 — Perdas de potência com tempo bom, 501 10.6.3.2 — Perdas de potência sob chuva, soa 10.6.3.3 — Perdas mínimas, médias e máximas, 506 Exercícios, 507 Bibliografia, 517 11 Equacionamento Técnico-Econômico da Transmissão de Energia, 519 f1.1- Considerações gerais, 519 11.2— Fatores que determinam o custo do transporte de energia elétrica, 520 41.21 - Escolha da tensão de transmissão, 522 xx 11.3 — H.4- 11,5— 11,6- 11.7— 11.8- 11.9— Cálculo cla custo anual das perdias de transmissão, 11.31 — Perdas por dispersão, 11.3.2 — Perdas por efeito Joule, 11,3.3 — Determinação do preço ca energia perdida, Cálculo do custo da instalação, 114,1 — Custo anual das linhas de transmissão C,, 11.4.2 — Encargos financeiros Cy, 11.4.3 — Manutenção e Operação C, 11,4.4 — Custo anual da linha de transmissão, Linhas com compensação, Condutores aluminio-aço, Dados orientadores para estudos econômicos, 11.7. — Densidade econômica de correntes, 11.7.2— Custo das estruturas das linhas de transmissão, Considerações finais, Bibliografia, SUMÁRIO: sos sos 525 528 sao .83 532 532 532 533 534 534 534 534 535 Indutância, Reatância Indutiva das Linhas de Transmissão 7.1 — INTRODUÇÃO No estudo do desempenho das linhas de transmissão, com o qual nos ocupamos nos Caps. 3, 4 e 5, verificamos que o transporte da energia elétrica é decisivamente influenciado pelos valores de seus parâmetros elétricos. Sua determinação, dentro de um mínimo rigor matemático, é, portanto, nevéssária. Esse rigor matemático deverá, porém, ser compa- tível com o grau de confiança que podemos depositar nos dados de pro- jeto, quase nunca. perfeitamente definidos. Neste. capítulo e nos três que se seguem estudaremos as formas de determinar os seus valores. Os valores das indutâncias das linhas de transmissão dependem de sua configuração física e do meio no qual se encontram os condutores. E, pois, interessante buscar um processo generalizado de cáleulo, que permita calcular essas grandezas, quaisquer que sejam as formas dos con- dutores, sua disposição relativa e meio em que forem colocados. Por outro lado, processos rápidos de cálculo são também desejáveis para os casos de rotina, sendo objeto de atenção neste capítulo. No desenvolvimento matemático que se segue, somente serão consi- deradas tensões e correntes alternadas, de forma senoidal, e todo o ra- ciocínio se desenvolverá com relação às linhas aéreas. A indutância de linhas em cabos não será abordada. 7.2 — RELAÇÕES FUNDAMENTAIS Consideremos um condutor cilíndrico, retilineo, de comprimento in- finito, maciço, homogêneo e isolado, suficiontemente afastado do solo e de quaisquer outros condutores que conduzam correntes, de forma que não seja influenciado pelos mesmos, Esse condutor é percorrido por 284 INDUTÂNCIA, REATÂNCIA INDUTIVA DAS LINHAS CAP. 7 Um fluxo elementar dg será contido pelas paredes do cilindro, atraves- sando uma secção: t= dr poisil=1 AS = dra Será então: do = Bo dS= Bdrs : ou, conforme a Eg. (7. doa = 2 [vs (7.8) O fluxo magnético externo do condutor 4, situado no espaço compreen- dido entre a sua superfício c a superfício oposta do condutor B, envol- vendo-o, será, se considerarmos muito pequenos os raios de 4 e B, com- parados com a distância entre seus eixos d: : ; da — f 2-0" + dr ou 51 a de= 2107 [Ln (5) ou [weberim) (7 Para um condutor de comprimento la, teremos: . d . da= 2:10" Fa Ln [Vs] ou [weber). (7.8) 7,2.2 — Fluxo Magnético Interno de um Condutor Consideremos uma secção através do condutor A, percorrido pela corrente Í [A]. que admitimos ccmo uniformemente distribuída em seu Fig. 7.3 — Fluzo magnético interno de um condutor. Cie 7.2 — RELAÇÕES FUNDAMENTAIS . 285 interior, produzindo linhas de fluxo magnéticas (Fig. 7.3). Separemos em seu interior um cilindro de paredes infinitesimais, de raio r, c cspessura dry As paredes do cilindro, de comprimento unitário, são percorridas pelo fluxo dq, produzido pela parcela decorrente 1, que flui na parte do condutor limitada pelo cilindro. Para distribuição uniforme da corrente no interior do condutor, temos: Aplicando a lei de Ampêre, teremos: fBas-ul, Como no cilindro dr, podemos considerar Ê constante, temos: fias-pgas- b-2an (7.9) e . .qê ul,=ul logo, introduzindo esses valores em (7.9), temos: . 42 1 2nBr, = nd ou (7.10) O volume de material do cilindro infinitesimal de comprimento uni- tário é: de= 2ar, dry (711) e a energia armazenada pelo campo magnético no interior do condutor: 1 T i . = —— =— ) . BRA F= fra SLI Wes, (719) oa qual introduzimos os valores de B e dv dados pelas Egs. (7.10) e (7.11), para obter: INDUTÂNCIA, REATÂNCIA INDUTIVA DAS LINHAS CAP. 7 =p ade, E = (o up ndo, = | 13 dy ” 2 ou po st LEO (7.13) como, porém teremos: = 5 Ly s/a] 8a ou; introduzindo o valor de go = 47 : 107: “105 [V -sm]. (7.14) 7.2.3 — Fluxo Magnético Total de um Condutor Cilíndrico Maciço O fluxo magnético total associado a um condutor que conduz uma corrente Z., considerada desde o eixo que passa por seu centro até a uma distância d [m] desse cixo, será: g= 6,46 IV csm. (7.15) Substituindo qa & q: pelos valores encontrados em (7.7) e (7.12), tere- mos, para um metro de condutor: g=2 7 (5 + In s) Iv - sim). (716) Se lembrarmos que: ve — = Inch, » a Eq. (7.16) se torna: 4=2 1071 (im e 4 In 2) =2-107iLn (AM 7.3 — FLUXO DE ACOPLAMENTO 287 Se fizermos re-4 = 7, teremos, finalmente: d d=2107ÍLnS 7 tv sm). (7.18) O raio ” = re Ms pode ser interpretado como sendo o raio de um + condutor fictício, teórico, que, não possuindo fluxo interno, produz, no entanto, o mesmo fluxo total & que seria produzido pela corrente 7 [A] ao percorrer o condutor sólido real examinado, , Portanto, nos cálculos do fluxo produzido por condutores cilíndricos i maciços, devemos substituir seus raios externos reais por: í r= reta = 0,7788r, (7.19) “so empregarmos a Eq. (7.18) ou qualquer outra dela derivada. Observa-se também que o termo logarítmico da Eg. (7.16) representa os limites para os quais o fluxo é considerado. 7.3 — FLUXO DE ACOPLAMENTO ENTRE DOIS CONDUTORES Consideremos, na Fig. 7.4, dois condutores 4 e B, separados entre si de uma distância d [m]. Os dois condutores são cilíndricos, retilíneos e paralelos, isolados entre si. Seus raios são, respectivamente, 7, € 7». Conduzem as correntes J, e Í,, respectivamente. Fig. 7.4 — Sistema de dois condutores paralelos, Consideremos, inicialmente, o condutor 4. Ele é enlaçado pelo fluxo produzido pela própria corrente 75, interno e externo. O fluxo externo considerado será aquele que se estende desde a sua superfície até um ponto arbitrário P, situado & uma distância dp do condutor A (o : raio F é insignificante em relação a dez). Teremos, de acordo com a Eq. (7.18): bars = 2: 1091, In See [Vc sím). (7.20) INDUTÂNCIA, REATÂNCIA INDUTIVA DAS LINHAS CAP.7 . 1 -1 AU, In = En 5— í el =4 07 Ta das [ | , E [50] 4 sf h [vi (7.32) 1a + i das r que interpretamos através da Fig. 7.5. 7.3.3 — Condutores com Retorno pelo Solo Admitamos que um condutor 4, de raio ra, cilíndrico e retilíneo, esteja suspenso a uma altura À [m] sobre o solo, sendo paralelo ao mesmo, Admitamos ainda que o solo seja ideal, isto é, um condutor perfeito e homogêneo. O solo constitui o retorno do circuito do condutor 4. Uma vez que o percurso da corrente através do solo não pode ser esta- belecida, podemos admitir um condutor equivalente em seu lugar. Esse condutor, por ora considerado ideal, é paralelo ao condutor A, encon- trando-se a uma profundidade da superfície do solo igual à altura do condutor 4 sobre o mesmo, como mostra & Fig. 7.6. Esse condutor recebe o nome de condutor-imagem. 1 —— la 2 > U4 h A Dé CEDER EEE ME PREIHa + REZAR? 1/7 PE MAM EM UA “la h + 1 2 Fig. 7.6 — Condutor com retorno pelo solo. A Eq. (7.25), aplicada ao sistema assim formado, tomará a seguinte orma . 2104 Ê, (im > - 5) [v- sfmj (7.330) do = 21071, In A [Vc sjml (7.330) caso gere 7.3 — FLUXO DE ACOPLAMENTO 281 Admitamos agora que, ao invés de um condutor, tenhamos dois con- dutores com retorno pelo solo, nas mesmas condições anteriores. Cada condutor terá ó seu condutor-imagem, como mostra a Fig. 7.7. Fig. 7.7 — Dow condutores com retomo pelo solo. Consideremos, no sistema assim formado, somente o condutor A, e marquemos novamente o ponto de referência P. Com o mesmo racio- cínio usado no Item 7.2, obtemos o fluxo total que enlaça o condutor A: du = 2107 (Line + hn be — Ta das Cr der pr E) py Jan Do En 5). [Vc sfm]. (7.34) Essa equação pode ser posta sob a seguinte forma: due = 2107 (Lind — done + a o Lo — do ln cao ; dr 45 Das -j dyr En SP - . + doln GE 4 is In E O boni ) ires (ram Considerando, novamente, o ponto P afastando-se dos condutores e suas imagens, teremos: - sa i : D. de = 2:10" [6 (in = Ingo) hit das | [Y - sim) 202 INDUTÂNCIA, REATÂNCIA INDUTIVA DAS LINHAS CAP. 7 ou =2 qr tr 2h, Z da = 10? (LIinD= 4 Plin [IV - sim]. (7.36) . 5 AB Com o mesmo raciocínio Para o condutor b, obtemos: do = 2104 (iitn +ila Se) [sm] (7.368) AB 1% . É Portanto, o sistema da Fig. 7.7 poderá ser deserito pela equação: Indo rm Das | [g]-2:10+ o dam pão [V sim]. (7.37) & [ ] - sim]. E) , inda vrnZb lh dan Ea Pela definição da indutância, teremos a matriz das indutâncias: In de Im Das Ê 4 Ul = 2.107 » o [H/m] (7.38) Inão Indl AB ra Observando as Egs. (7.30) é (7.38), verificamos e i encontramos dois tipos de termos: ' JUS om suas matrizes =. termos das diagonais, que dizem respeito aos próprios con- dutores: são suas indulâncias próprias ou auto-indutâncias ; 77 O8 termos fora da diagonal mostram a influência dos condutores vizinhas, representando, pois, as indulâncias mútuas. As linhas aéreas de transmissão são construídas tendo seus condu- tores a alturas finitas sobre o solo, e são paralelas ao mesmo. “Em condi- $ões normais de operação, em. que as correntes nas linhas trifásicas são razoavelmente equilibradas, as correntes no solo são insi, efeito sobre os valores das indutâncias ou das restâncias indutivas pode ser desprezado. assimétricas em, sistemas aterrados, quando sua influên, cante, t í 7.4— REATÂNCIA INDUTIVA DE UM GRUPO . 288 Por outro lado, como veremos mais adiante, o solo nunca é ideal. Ele possui resistência, devendo-se atribuir-lhe, igualmente, indutância, Também não é homogêneo. Seus efeitos são incluídos nos cálculos, em- pregando-se, para tanto, os resultajlos dos trabalhos de Carson e outros notáveis pesquisadores [7]. Os condutores das linhas aéreas de transmissão, ao serem suspensos, tomam a forma aproximada de catenárias, de forma que sua altura sobre o solo é também variável. Para os cálculos elétricos, “é usual efetuar-se uma correção para se ter em conta esse fato. Tal correção considera a « Superfície do solo como sendo plana e os condutores, suspensos em suas extremidades a uma mesma altura sobre O mesmo, como mostra a Fig. 7.8, sem considerar as normais irregularidades do perfil altimétrico do eixo da Inha, b; TEEM STE EE 4 Fig. 7.8 — Correção do altura das linhas, As alturas que devem ser consideradas nos cálculos são calculadas por intermédio da expressão: ha = H; — 0,7: [m), (7.39) sendo: H;lm) — altura do condutor sobre o solo, no ponto de sua suspen- São, junto à estrutura; fi [m] — flecha de um condutor ou cabo genérico 1, estimada para um vão médio da linha e sob condições de temperatura média, no estado final. 7.4 — REATÂNCIA INDUTIVA DE UM GRUPO DE N CONDUTORES Para um sistema composto de n condutores 4, B,C€,...,N, de TRÃOS fa Ph, Tess Po paralelos entre si e 20 solo ideal, podemos escrever Sua equação com base nas considerações feitas no item anterior: 226 INDUTÂNCIA, REATÂNCIA INDUTIVA DAS LINHAS CAP, 7 7.5 — RAIO MÉDIO GEOMÉTRICO DOS CABOS CONDUTORES Como já foi mencionado no Cap. 2, os condutores usados em linhas de transmissão são construídos por encordoamento de um número va- riável de fios metálicos cilíndricos maciços, obtendo-se, dessa forma, con- dutores das mais variadas características mecânicas e composições. A sua subdivisão em secções parciais menores e o conseguente encordoa- mento constituem uma necessidade mecânica e também de natureza elé- trica, como veremos no Cap. 9. Não é difícil concluir que os coeficientes de campo próprios dos cabos devem refletir essas condições, a fim de que o fator encordoamento seja tomado em devida consideração nos cálculos elétricos. É Preciso, pois, determinar um fator de correção a ser empregado nas Egs, (7.42) e (7.43), Esse fator pode ser determinado através da Eq. (7.25), desde que se façam algumas concessões nas hipóteses de cálculo, “A principal destas se refere à distribuição uniforme da corrente por todos os filamentos que compõem o cabo e que, veremos, não é absolutamente exata. Consideremos um circuito elétrico composto de um condutor A é de seu retorno B. O condutor 4, como mostra a Fig. 7.9, é composto de n fios elementares 1, 2, 3, --.,M, cada qual conduzindo uma parcela tjn [A] da corrente total. O condutor B é composto de m fios elementares, 4 6, €, ..., My que conduzem em seu todo a mesma corrente —I [A], ou seja, —I/m [A] individualmente. O sinal negativo indica que a corrente em B tem sentido oposto Aquele que tem em 4, A presença do solo não será considerada neste caso. oa o me 2 º o [ o e [o] a OR e 9 O gm E 9 [5] a Fig. 7.9 — Circuito consistindo em condutores compostos, De acordo com as Eqs. (7.36), poderemos escrever para os filamentos do côndutor A, com a condição de que: ju=fu=fa= o (7.46) Jau = fim = fo =. pois.são de mesmos diâmetros: 7.5— RAIO MÉDIO GEOMÉTRICO NOS CABOS CONDUTORES 27 dis Jufisdis o. fim Es fesfude o... fm Es Pra fotfute fm ES fas fiade ma Á Pas . fis fas fu oo. fon Es . faso fes co. Toma Í és fufas fas fu Ea Jen fontes oo fan Ea (7.47) Pela definição de indutância: i= > ED o alój=trtn, a Eq. (7.47) pode ser escrita da forma: = [otra Dto) ou ntgl= (tra = E trabtm = ton, logo, Ira) — So [e] = [IJ Portanto: Ja fa fis cc fm Tas fis fa o fm fa fo fes... fm Jos foz fo o. ma [=| tutfota fa | Do) duatistfo fa | (AS) fos for fia oo fa Poa fio Jon coco fa Uma vez que as distâncias entre as filamentos que compõem cada um dos condutores são muito pequenas, comparadas com as distâncias. entre os condutores, podemos, perfeitamente, introduzir o conceito do fluxo médio por filamento ou valor médio da indutância por filamento: L L n. im la= drtlatia too tm [benryfm] (7.49) o, como todos os filamentos de, um. condutor estão em paralelo, teremos o valor da indutância do cabo: Lo flo A Lg + lo by o dom rd dds Te menryfm). (7.50) Introduzindo nessa expressão os valores de Le, Li, Lo, ..., La obtidos de 7.48, após a substituição dos coeficientes de campo e a racionalização, teremos: TX/ Dodo... doados oo duada co dono eee La= 2" 10"Ln . Re o rdeidar = andas vo degdso voo dandao o (7.51) . Na expressão (7.51), o numerador do termo logarítmico 6 a n:m raiz de um produto das n :m distâncias entre cada um dos filamentos de um condutor e os filamentos do outro condutor, ou seja: Da = "dada. dordis oo. desdio «co donlm (7.52) que recebe o nome de disiâneia média geométrica — DMG — entre fila- mentos (ou condutores). A expressão do denominador do termo logarítmico é a n? raiz de um produto de n distâncias entre filamentos c n vezes r'4: * Da = Wa)? ddar ... dasdos -. e dasdos -. o dandams (7.58) que recebe o nome de raio médio geométrico — RMG — do condutor A, Será então: . D, La = 210" La DE fhenryim] (7.540) Dis e analogamente: Le = 2-10" In Dy lhenry/m]. (7.54) Den Teremos igualmente: Dm : da= 210%, ln So [V- sim] (7.55a) 298 INDUTÂNCIA, REATÂNCIA INDUTIVA DAS LINHAS CAP. 7 7.5 — RAIO MÉDIO GEOMÉTRICO DOS CABOS CONDUTORES 28 da = 2 107h, In s [V-: sim]. (7.550) 3 Se compararmos essas expressões com (7.18), referente a um condutor cilíndrico maciço, veremos que elas só diferem entre gi pelo seu termo logarítmico. Se as distâncias entre filamentos de um condutor forem pequenas em comparação à distância entre os eixos dos condutores das, as Egs. (7.554) e (7.550) poderão ser simplificadas para, admitindo uma forma genérica: de= 2107 In do [V - sjm]. Dia ou Dep, raios médios geométricos dos condutores, podem ser interpretados como sendo raios de condutores cilíndricos fictícios, capazes de produzir fluxos externos de mesmo valor que os fluxos totais produ- zidos pelos condutores reais correspondentes. Portanto, sendo conhecida a composição dos cabos condutores, é possível calcular, através de (7.53), o seu RMG, valor esse que sempre deve ser empregado nos cálculos das indutâncias. Não obstante, o em- prego da Eg. (7.53) deveria ser limitado somente aos condutores homogê- neos, como os cabos de cobre ou alumínio puros. Teremos para estes, sendo r seu raio externo: — cabos com Tfios: D;= 0,726r; — cabos com 19 fios: De = 0,758r; — cabos com 37 fios: De = 0,768 7; 0,772 7; — cabos com 61 fios: — cabos com 9l fios: D = 0,747; — cabos com 127 fios: D,= 07767. Observa-se que o aumento do número de fios indica nítida conver- gência para: D, = 0,7788 1, que é, conforme vimos, o RMG de um condutor cilíndrico maciço. De um modo geral, na prática, raramente será necessário determina por cálculo os RMG dos cabos condutores. Dada a dificuldade de se considerarem, nos cálculos, todos os fatores modificstivos, prefere-se lançar mão de RMG obtidos através de medição da indutância em um grande número de amostras de cabos de composições padronizadas. Seus valores médios são encontrados nas tabelas de características elétricas dos cabos condutores, publicadas pelos diversos fabricantes desse material, 
