Suma de Vectores por método analítico, Exercises of Law

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“Suma de Vectores por el Método

Analítico”

Agosto del 2023

Universidad Autónoma Chapingo

Dpto. de Preparatoria Agrícola

Área de Física

A menudo se presentan vectores expresados en coordenadas polares y tenemos necesidad de obtener la resultante de esos vectores al estar aplicados a un punto. Presentamos a continuación un método para sumar vectores expresados en forma polar. El método consiste en tres pasos: 1 .- Cuando tenemos un conjunto de vectores expresados en forma polar, es necesario expresarlos en forma cartesiana para poderlos sumar. Las ecuaciones de transformación son las siguientes:

𝑥 = 𝑉 𝑐𝑜𝑠 𝜃 y 𝑦 = 𝑉 𝑠𝑒𝑛𝜃

Ejemplo 1 : Sume los siguientes vectores utilizando el método analítico para la suma de vectores. 𝑉 → 1 =^ (^2 ,^10 0 ), 𝑉 → 2 =^ (^5 ,^110 0 ), 𝑉 → 3 =^ (^10 ,^200 0 ) y 𝑉 → 4 =^ (^3 ,^300 0 )

1. Expresar los vectores en coordenadas cartesianas: 𝑥 1 = 𝑉 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 = 2 𝑐𝑜𝑠 1 0 0 = 1. 9696 y 𝑦 1 = 𝑉 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 = 2 𝑠𝑒𝑛1 0 0 = 0. 3473 𝑥 2 = 𝑉 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 = 5 𝑐𝑜𝑠 1 10 0 = − 1. 71 y 𝑦 2 = 𝑉 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 = 5 𝑠𝑒𝑛 110 0 = 4. 698 𝑥 3 = 𝑉 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3 = 10 𝑐𝑜𝑠 2 00 0 = − 9. 396 y 𝑦 3 = 𝑉 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 3 = 10 𝑠𝑒𝑛 200 0 = − 3. 42 𝑥 4 = 𝑉 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 4 = 3 𝑐𝑜𝑠 300 0 = 1. 5 y 𝑦 4 = 𝑉 4 𝑠𝑒𝑛𝜃 4 = 3 𝑠𝑒𝑛 300 0 = − 2. 598

2. Sumar los vectores. Después de haber hecho la transformación de coordenadas, el segundo paso consiste en sumar los cuatro vectores de acuerdo a la suma de vectores en coordenadas cartesianas. 𝑥𝑡 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑥𝑖 = 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 1. 9696 − 1. 7101 − 9. 3969 + 1. 5 = − 7. 6079 𝑦𝑡 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑦𝑖 = 𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 + 𝑦 4 = 0. 3473 + 4. 6984 − 3. 4202 − 2. 598 = − 0. 9725
3. Expresar el vector resultante en coordenadas polares. La magnitud del vector es igual a: 𝑉𝑡 = 𝑥𝑡 2

• 𝑦𝑡 2 = ቀ − 7. 6079 ) 2
• ൫ − 0. 9725 ) 2 = 58. 8183 = 7. 67

Ejemplo 2 : Sume los siguientes vectores utilizando el método analítico para la suma de vectores.

1. Expresar los vectores en coordenadas cartesianas:

→ 1 =^ (^4 ,^45 0 ), 𝑉 → 2 =^ (^2 ,^160 0 ) y 𝑉 → 3 =^ (^1 ,^310 0 ). 𝑥 1 = 𝑉 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 = 4 𝑐𝑜𝑠 4 5 0 = 2. 828 y 𝑦 1 = 𝑉 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 = 4 𝑠𝑒𝑛 45 0 = 2. 828 𝑥 2 = 𝑉 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 = 2 𝑐𝑜𝑠 160 0 = − 1. 879 y 𝑦 2 = 𝑉 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 = 2 𝑠𝑒𝑛 160 0 = 0. 684 𝑥 3 = 𝑉 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3 = 1 𝑐𝑜𝑠 310 0 = 0. 6428 y 𝑦 3 = 𝑉 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 3 = 1 𝑠𝑒𝑛 310 0 = − 0. 766

2. Sumar los vectores. Después de haber hecho la transformación de coordenadas, el segundo paso consiste en sumar los tres vectores de acuerdo a la suma de vectores en coordenadas cartesianas.
3. Expresar el vector resultante en coordenadas polares. La magnitud del vector es igual a: 𝑥𝑡 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑥𝑖 = 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 = 2. 8284 − 1. 8794 + 0. 6428 = 1. 5918 𝑦𝑡 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑦𝑖 = 𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 = 2. 8284 + 0. 6840 − 0. 7660 = 2. 7464 𝑉𝑡 = 𝑥𝑡 2

• 𝑦𝑡 2 = ቀ 1. 5918 ) 2
• ൫ 2. 7464 ) 2 = 10. 0765 = 3. 1743

Ejercicio 1 : Sume los siguientes vectores utilizando el método analítico para la suma de vectores. 𝑉 → 1 =^ (^3 ,^20 0 ), 𝑉 → 2 =^ (^4 ,^120 0 ), 𝑉 → 3 =^ (^2 ,^210 0 ) y 𝑉 → 4 =^ (^5 ,^330 0 )

1. Expresar los vectores en coordenadas cartesianas: 𝑥 1 = 𝑉 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 = 3 𝑐𝑜𝑠 2 0 0 = 2. 819 y 𝑦 1 = 𝑉 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 = 3 𝑠𝑒𝑛 20 0 = 1. 026 𝑥 2 = 𝑉 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 = 4 𝑐𝑜𝑠 1 20 0 = − 2. 0 y 𝑦 2 = 𝑉 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 = 4 𝑠𝑒𝑛 120 0 = 3. 464 𝑥 3 = 𝑉 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3 = 2 𝑐𝑜𝑠 2 10 0 = − 1. 732 y 𝑦 3 = 𝑉 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 3 = 2 𝑠𝑒𝑛 210 0 = − 1. 0 𝑥 4 = 𝑉 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 4 = 5 𝑐𝑜𝑠 330 0 = 4. 33 y 𝑦 4 = 𝑉 4 𝑠𝑒𝑛𝜃 4 = 5 𝑠𝑒𝑛 330 0 = − 2. 5

2. Sumar los vectores. Después de haber hecho la transformación de coordenadas, el segundo paso consiste en sumar los cuatro vectores de acuerdo a la suma de vectores en coordenadas cartesianas. 𝑥𝑡 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑥𝑖 = 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 2. 819 − 2. 0 − 1. 732 + 4. 33 = 3. 417 𝑦𝑡 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑦𝑖 = 𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 + 𝑦 4 = 1. 026 + 3. 464 − 1. 0 − 2. 5 = 0. 990
3. Expresar el vector resultante en coordenadas polares. La magnitud del vector es igual a: 𝑉𝑡 = 𝑥𝑡 2

• 𝑦𝑡 2 = ቀ 3. 417 ) 2
• ൫ 0. 990 ) 2 = 12. 657 = 3. 558

Ejercicio 2 : Sume los siguientes vectores utilizando el método analítico para la suma de vectores. 𝑉 → 1 =^ (^1 ,^50 0 ), 𝑉 → 2 =^ (^3 ,^140 0 ), 𝑉 → 3 =^ (^5 ,^240 0 ) y 𝑉 → 4 =^ (^6 ,^315 0 )

1. Expresar los vectores en coordenadas cartesianas: 𝑥 1 = 𝑉 1 𝑐𝑜𝑠 𝜃 1 = 1 𝑐𝑜𝑠 50 0 = 0. 6428 y 𝑦 1 = 𝑉 1 𝑠𝑒𝑛𝜃 1 = 1 𝑠𝑒𝑛 50 0 = 0. 7660 𝑥 2 = 𝑉 2 𝑐𝑜𝑠 𝜃 2 = 3 𝑐𝑜𝑠 1 40 0 = − 2. 298 y 𝑦 2 = 𝑉 2 𝑠𝑒𝑛𝜃 2 = 3 𝑠𝑒𝑛 140 0 = 1. 928 𝑥 3 = 𝑉 3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 3 = 5 𝑐𝑜𝑠 2 40 0 = − 2. 5 y 𝑦 3 = 𝑉 3 𝑠𝑒𝑛𝜃 3 = 5 𝑠𝑒𝑛 240 0 = − 4. 33 𝑥 4 = 𝑉 4 𝑐𝑜𝑠 𝜃 4 = 6 𝑐𝑜𝑠 315 0 = 4. 242 y 𝑦 4 = 𝑉 4 𝑠𝑒𝑛𝜃 4 = 6 𝑠𝑒𝑛 315 0 = − 4. 243

2. Sumar los vectores. Después de haber hecho la transformación de coordenadas, el segundo paso consiste en sumar los cuatro vectores de acuerdo a la suma de vectores en coordenadas cartesianas. 𝑥𝑡 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑥𝑖 = 𝑥 1 + 𝑥 2 + 𝑥 3 + 𝑥 4 = 0. 6428 − 2. 2981 − 2. 5 + 4. 2426 = 0. 08729 𝑦𝑡 = ෍ 𝑖= 1 𝑛 𝑦𝑖 = 𝑦 1 + 𝑦 2 + 𝑦 3 + 𝑦 4 = 0. 7660 + 1. 9283 − 4. 33 − 4. 2426 = − 5. 8783
3. Expresar el vector resultante en coordenadas polares. La magnitud del vector es igual a: 𝑉𝑡 = 𝑥𝑡 2

• 𝑦𝑡 2 = ቀ 0. 08729 ) 2
• ൫ − 5. 8783 ) 2 = 34. 5627 = 5. 879

Atentamente: Dr. Guillermo Becerra Córdova Página: http://virtual.chapingo.mx/fis