Multidimensional Scaling

MULTIDIMENSIONAL SCALING

Che cos’è lo schema multidimensionale e quali sono le sue funzioni?

Lo schema multidimensionale (dall'inglese MultiDimensional Scaling, MDS) è una tecnica di

analisi statistica spesso utilizzata per rappresentare a 2 dimensioni (2D) o a 3 dimensioni (3D) una

realtà che invece è costituita da n dimensioni (dove il numero degli oggetti è superiore a 4 e la

rappresentazione necessita di più di 3 dimensioni). Quando un oggetto è rappresentato su uno

schermo e nella realtà e un oggetto 3D non si hanno informazioni sulla terza dimensione, cioè la

rappresentazione 2D mostra una prospettiva dell’oggetto che non permette di osservare tutti i lati di

questo. Lo schema multidimensionale permette di ricavare informazione su tutti i lati dell’oggetto

preso in considerazione.

Lo scopo principale é quello di ridurre il numero di variabili cioè, sulla base delle relazioni

intercorrenti tra esse, creare associazioni o nuove singole variabili, che rappresentino il più

accuratamente possibile i dati di partenza.

La rappresentazione di oggetti nello spazio richiede la dimensione, per esempio 2D o 3D, in base al

numero degli oggetti. Se si considera la distanza tra due oggetti la sua rappresentazione sarà 1D,

infatti sull’asse verrà rappresentata con una riga; se invece prendiamo in considerazione quattro

oggetti,che non sono sullo stesso piano, avremo bisogno di una rappresentazione grafica 3D per

raffigurare il volume che lo descrive. Per individuare la corretta dimensione che rappresenta nello

spazio n oggetti bisogna sottrarre 1 al numero degli oggetti che considero.

K = (n - 1) = dimensione che mi serve per rappresentare gli n oggetti

Le funzioni di questo schema sono:

• La validazione di strumenti psicometrici: lo schema multidimensionale permette di

individuare gli oggetti, considerare e osservare le differenze, coincidenze o la buona

distribuzione nello spazio, se ognuna ha entità diversa dalle altre o meno e permette

divalutare se richiede più o meno sottoscale; dunque valutazione di più misure fornite dallo

strumento psicometrico (Per esempio viene condotta l’analisi fattoriale su 53 items di

partenza e, grazie al metodo delle componenti principali e alla rotazione dei fattori, si

ottengono sette componenti principali. Emergerà una struttura costituita da sottoscale fra

loro relativamente indipendenti all’interno delle quali si raggrupperanno complessivamente

41 items (alcuni items vengono esclusi perché simili ad altri o non utili alla ricerca). Gli

item peseranno diversamente su ogni fattore, per esempio 10 sul primo, 7 sul secondo, 5 sul

terzo e così via. I fattori saranno ordinati in ordine decrescente, secondo la varianza spiegata

da ognuno di questi).

• La valutazione della differenza tra gruppi: individua le relazioni tra determinati oggetti in

diversi gruppi, fornendo il quadro delle relazioni all’interno di ognuno di questi. Dato un

questionario permette di valutare se la distribuzione delle sottoscale nelle popolazioni è

differente quindi, se considero due popolazioni differenti, posso osservare particolarità che

le distinguono.

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Che cos’è lo schema multidimensionale e quali sono le sue funzioni? Lo schema multidimensionale (dall'inglese MultiDimensional Scaling, MDS) è una tecnica di analisi statistica spesso utilizzata per rappresentare a 2 dimensioni (2D) o a 3 dimensioni (3D) una realtà che invece è costituita da n dimensioni (dove il numero degli oggetti è superiore a 4 e la rappresentazione necessita di più di 3 dimensioni). Quando un oggetto è rappresentato su uno schermo e nella realtà e un oggetto 3D non si hanno informazioni sulla terza dimensione, cioè la rappresentazione 2D mostra una prospettiva dell’oggetto che non permette di osservare tutti i lati di questo. Lo schema multidimensionale permette di ricavare informazione su tutti i lati dell’oggetto preso in considerazione. Lo scopo principale é quello di ridurre il numero di variabili cioè, sulla base delle relazioni intercorrenti tra esse, creare associazioni o nuove singole variabili, che rappresentino il più accuratamente possibile i dati di partenza. La rappresentazione di oggetti nello spazio richiede la dimensione, per esempio 2D o 3D, in base al numero degli oggetti. Se si considera la distanza tra due oggetti la sua rappresentazione sarà 1 D, infatti sull’asse verrà rappresentata con una riga; se invece prendiamo in considerazione quattro oggetti,che non sono sullo stesso piano, avremo bisogno di una rappresentazione grafica 3D per raffigurare il volume che lo descrive. Per individuare la corretta dimensione che rappresenta nello spazio n oggetti bisogna sottrarre 1 al numero degli oggetti che considero. K = (n - 1) = dimensione che mi serve per rappresentare gli n oggetti Le funzioni di questo schema sono:

La validazione di strumenti psicometrici: lo schema multidimensionale permette di individuare gli oggetti, considerare e osservare le differenze, coincidenze o la buona distribuzione nello spazio, se ognuna ha entità diversa dalle altre o meno e permette divalutare se richiede più o meno sottoscale; dunque valutazione di più misure fornite dallo strumento psicometrico (Per esempio viene condotta l’analisi fattoriale su 53 items di partenza e, grazie al metodo delle componenti principali e alla rotazione dei fattori, si ottengono sette componenti principali. Emergerà una struttura costituita da sottoscale fra loro relativamente indipendenti all’interno delle quali si raggrupperanno complessivamente 41 items (alcuni items vengono esclusi perché simili ad altri o non utili alla ricerca). Gli item peseranno diversamente su ogni fattore, per esempio 10 sul primo, 7 sul secondo, 5 sul terzo e così via. I fattori saranno ordinati in ordine decrescente, secondo la varianza spiegata da ognuno di questi).
La valutazione della differenza tra gruppi: individua le relazioni tra determinati oggetti in diversi gruppi, fornendo il quadro delle relazioni all’interno di ognuno di questi. Dato un questionario permette di valutare se la distribuzione delle sottoscale nelle popolazioni è differente quindi, se considero due popolazioni differenti, posso osservare particolarità che le distinguono.

La rappresentazione grafica di più variabili, le quali devono essere in relazione tra loro, fornisce la posizione che si riferisce a ogni variabile o oggetto e non il valore delle coordinate. Come lavora questa tecnica?

Il primo passo consiste nel calcolare la matrice di correlazione tra le sottoscale che si prendono in considerazione, questo permette di individuare la relazione globale di tutte le variabili insieme. Lo scopo é quello di generare un set di punti in coordinate spaziali 2D, la cui distanza rispettiva è funzione della relazione esistente tra le variabili esaminate. Gli n valori ottenuti dalla matrice sono necessari per la determinazione del numero di dimensioni minime, per descrivere al meglio le similarità e per definire la localizzazione dei punti nello spazio multidimensionale. (è stata applicata questa procedura all’esempio che verrà rappresentato graficamente in seguito: è stata calcolata la matrice di correlazione tra 7 sottoscale, la quale mostrava i valori dei coefficienti di correlazione; in questo caso le sottoscale riguardavano il mobbing e i coefficienti sono stati calcolati con Pearson perché le variabili sono a distribuzione gaussiana. Sono stati ottenuti 49 valori e 21 coefficienti, questi ultimi sono le 21 distanze che voglio rappresentare, ma non posso farlo in 6D; questo metodo permette di rappresentare in 2D i 7 oggetti e i 21 coefficienti nel modo migliore).
Le distanze tra i punti calcolate grazie al programma SPSS sono euclidee, a questo punto avrò ottenuto i valori che corrispondono alle coordinate.
L’ultimo passaggio consiste nell’assegnare a ogni elemento una posizione in uno spazio N- dimensionale, con N stabilito a priori. Dato che non è possibile rappresentare uno spazio di N-dimensionale quando N>3, questo metodo, partendo da un sistema con tante dimensioni quanti sono gli elementi del sistema, riduce le dimensioni fino a 2D o massimo 3D, in modo da poterle rappresentare. Infatti, il problema che insorge solitamente è che n = 10 non si può rappresentare perché necessita di uno spazio 9D. Grazie a questo metodo le dimensioni vengono a 2D in modo che gli n siano rappresentati al meglio. Grazie ai programmi matematici e alla matrice di correlazione si può ottenere una rappresentazione 2D o 3D:

La rappresentazione 2D , come si può osservare dalla Figura 1, è costituita da due assi, dimensione 1(D1) e dimensione 2(D2). Queste sono artificiali essendo costruite dalla procedura matematica per rappresentare al meglio le sottoscale considerate. Le dimensioni sono quindi ricavate grazie a calcoli matematici, attraverso gli autovettori e autovalori, come nel caso dell’analisi fattoriale. La D1 rappresenta la massima variabilità tra sottoscale, mentre la D2 rappresenta la massima rappresentazione della variabilità rimanente dalla D1. Come si osserva nella Figura 1 in D 1 trovo il massimo di variabilità e le distanze più lunghe, invece D2 rappresenta il massimo della variabilità rimasta dalla prima dimensione. Essendo risultato di una operazione matematica sono variabili Z (gaussiane standardizzate) e dunque direttamente confrontabili; ciò significa che hanno stessa media (uguale a zero) e stessa varianza, sono dunque accentrate su uno stesso valore e hanno uguale scala. Dunque la rappresentazione 2D permette di confrontare le sottoscale e costatare se sono simili o meno. Il grafico che ottengo mi permette di fare

Conclusioni In definitiva si possono fare le seguenti considerazioni sulla tecnica fin’ora studiata:

Non è molto utilizzata perché non è molto diffusa ed è descrittiva (studia la relazione tra le variabili semplicemente descrivendo il problema senza una dimostrazione scientifica), quindi non ha valore vincolante come le tecniche inferenziali. Infatti quest’ultime sono sperimentali, dunque dimostrano un’ipotesi e, una volta verificatane la veridicità, tutti devono accettarla. Nonostante ciò la procedura è molto valida dal punto di vista descrittivo.
Le dimensioni non corrispondono alla realtà perché sono il risultato di operazioni matematiche e consistono nel modo migliore di rappresentare le sottoscale. Il grafico 2D rappresenta la prospettiva delle sottoscale nella quale si vede la maggior parte delle informazioni e nel miglior modo possibile.
Questa tecnica permette di sintetizzate delle mappe di diversa natura. Una ricerca che non è stata ancora pubblicata, per esempio, vuole rappresentare il legame affettivo e emotivo di una madre nei confronti dei componenti più stretti della famiglia. Si chiede quindi a una madre di rappresentare su un grafico la distanza affettiva tra lei e il figlio, tra lei e sua madre, tra lei e il marito, tra lei e la prima figlia e tra lei e suo padre; si avranno cosi le rappresentazioni grafiche delle madri chiamate rispondere a questo test, e si raccoglieranno quindi un insieme di mappe disegnate da ognuna. In questo caso si possono rappresentare in 2D la “media” delle distanze tra i vari soggetti, dunque quanto ogni madre si considera vicina a ogni membro della famiglia. Questo metodo fornisce la rappresentazione sintetica degli oggetti in studio, questi sono valori Z (adimensionali), dunque non si ottengono risultati sul loro valore bensì riguardo le relazioni tra essi.
Questo metodo è utilizzabile in molti campi, per esempio:
- In sociologia si usa questa tecnica per determinare la struttura dei gruppi, basandosi sulle percezioni degli individui.
- In antropologia si comparano diversi gruppi culturali, sulla base della loro cultura, degli usi e delle tradizioni.
- La possibilità di rappresentare visivamente l'attitudine del consumatore verso diversi prodotti, ha favorito il suo impiego nelle ricerche di marketing.
Utilizzando questo metodo bisogna tenere in considerazione che, se nel grafico le sottoscale sono ben distribuite (dove queste rappresentano un insieme di item), significa che le stesse sottoscale raggruppano item diversi tra loro e quindi il raggruppamento è stato fatto in maniera corretta. Nel caso dell’analisi fattoriale gli item non devono essere troppo distribuiti nello spazio, perché testimonia che il questionario non è affidabile.

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