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Una introducción a los modelos de metas múltiples en investigación de operaciones, explorando conceptos como la minimización de desviaciones y la optimización de recursos. Se incluyen ejemplos prácticos que ilustran la aplicación de estos modelos en la gestión de recursos y la toma de decisiones.
Typology: Schemes and Mind Maps
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ClientesServidos
P d +P d +P e +2P d +P d +P d 1 1 1 2 2 6 3 3 3 44 5
Minimizar Z=
0.2^1 0.3^0 0.5^0
0 0.4 0.4 0. 0.1 0.3 0.5 0.
P=
6 (^108) 12 13
5
5
14 7 (^57)
10
3
1 4 6
7
2 5
Sistema de colas
Servidores
árbol de decisiones
Población de clientes
Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez
II
IV
Agradecimientos
Además el software IOpeTec es fácil de usar y los resultados se presentan en la misma hoja de cálcu- lo donde se realiza la captura de los datos de entrada. Una ventaja adicional es que se pueden realizar cálculos adicionales en la misma hoja de cálculo y la captura es más rápida porque se pueden copiar los datos.
El modulo 1 resuelve problemas de programación lineal y realiza el análisis de sensibilidad.
El modulo 2 resuelve problemas de programación por metas.
El modulo 3 resuelve problemas de: ruta más corta, árbol de mínima expansión, flujo máximo, flujo de costo mínimo, transporte y de asignación
El modulo 4 resuelve problemas de teoría de decisiones, obteniendo el resumen de decisiones y el ár- bol de decisiones con información muestral.
El modulo 5 resuelve problemas de cadenas de Markov, obteniendo la clasificación de estados, las pro- babilidades de transición a n pasos y a largo plazo, así como simula la Cadena de markov.
El modulo 6 resuelve problemas de líneas de espera, obteniendo las medidas de desempeño, el análi- sis de sensibilidad y simula el modelo básico de colas.
Por su facilidad en su uso y adquisición, espero que IOpeTec se convierta en el software más utilizado en las instituciones públicas o privadas, en las que se requieran tomar decisiones utilizando los métodos cuantitativos para administración.
Si este texto y software puede ayudar a alumnos y profesores, el autor se dará por satisfecho, porque su trabajo habrá sido útil, dado que lo que se busca es que las nuevas generaciones sean más competentes en el ámbito profesional y empresarial.
Jorge Antonio Mijangos López Docente del Instituto Tecnológico de Tuxtla Gutiérrez.
Capítulo 1
PROGRAMACIÓN POR METAS
La programación por metas (PM) es una extensión de la programación lineal. Esta técnica se diseñó para resolver problemas inconsistentes, es decir con objetivos y metas múltiples no congruentes o que son conflictivas entre sí. Los autores de la programación por metas fueron Charnes y Cooper a principios de la década de 1960. Ijiri la refinó y amplió la técnica. Ignizio y Lee desarrollaron numerosas aplicaciones en la década de los 70.
Existen una gran variedad de problemas con objetivos múltiples, como la simultánea maximización de utilidades, maximización de participación de mercado, minimización de costos, maximización de cali- dad del producto y maximización de la satisfacción de los clientes. Con frecuencia estos objetivos múl- tiples toman dimensiones distintas (maximizar utilidades en comparación con maximizar participación de mercado) y es frecuente que entren en conflicto (minimización de costos en comparación con maxi- mización del servicio). En el mundo real, los administradores deben considerar y ser capaces de evaluar problemas con objetivos múltiples, para este caso se han desarrollado modelos de programación mate- mática de criterios múltiples para auxiliar en esta labor. (Davis, 1986)
El modelo general de metas puede expresarse de la siguiente manera:
Minimizar Z =
k = 1
Pk
∑ m i = 1
( Wi di + Wi ei )
Sujeto a:
Restricciones estructurales:
∑^ n j = 1
ai j X (^) j (≤, =, ≥) bi para i = 1, 2,... , r
Restricciones de las metas:
∑^ n j = 1
ai j X (^) j + di − ei = bi para i = 1, 2,... , m
Restricciones de no negatividad:
X (^) j ≥ 0 ∀ j ; di ≥ 0 y ei ≥ 0 ∀ i
3
Paso 1. Transformar el problema a su forma estándar.
Paso 2. Igualar la función objetivo a cero: Z − ∑ n j = 1 C^ j^ X^ j^ =^ 0.
Paso 3. Construir una tabla con los coeficientes del programa lineal.
Paso 4. Seleccionar como variable de entrada aquella cuya Z (^) j − C (^) j sea la más negativa.
Paso 5. Una vez seleccionada la variable que entra a la base, seleccionar la variable de salida, utilizando la siguiente regla: X B ai ji Donde: ai j > 0 X Bi = elemento del lado derecho de la restricción i ( i = 1, 2,... , m ) j = variable que entra a la base ( j = 1, 2,... , n )
Paso 6. La intersección en la tabla de variable que entra y de la variable que sale, al elemento se le deno- mina pivote; al que se deberá convertir en uno y al resto de elementos de la columna en ceros, mediante el uso de operaciones de eliminación de Gauss.
Paso 7. Prueba de optimalidad: la solución será óptima cuando el renglón Z (^) j − C (^) j ≥ 0.
Ejemplo 1.1 Una empresa denominada Vendo Hogar produce mesas y sillas, las cuales vende a un ma- yorista. Por lo que todos los artículos que se produzcan se venden. Para producir una mesa se requieren 10 horas de tiempo de maquinaria, 30 horas de tiempo de mano de obra y 20 unidades de material; mien- tras que para producir una silla se requieren 10 horas de tiempo de maquinaria, 10 horas de tiempo de mano de obra y 40 unidades de material. Los recursos semanales disponibles son: 100 horas de tiempo de maquinaria, 240 horas de tiempo de mano de obra y 320 unidades de material. La utilidad por unidad producida es de $15 para una mesa y de $12 para una silla. Plantear y resolver este problema como un programa lineal con el objetivo de maximizar la utilidad total.
Planteamiento del problema:
X 1 = cantidad de mesas a producir a la semana. X 2 = cantidad de sillas a producir a la semana.
Maximizar Z = 15 X 1 + 12 X 2 Sujeto a:
10 X 1 + 10 X 2 ≤ 100 30 X 1 + 10 X 2 ≤ 240 20 X 1 + 40 X 2 ≤ 320 X 1 , X 2 ≥ 0
Solución del problema:
Escribir el problema en su forma estándar, agregando variables de holgura:
Maximizar Z = 15 X 1 + 12 X 2 + 0 S 1 + 0 S 2 + 0 S 3 Sujeto a:
Construir la tabla de coeficientes, para iniciar con las iteraciones del método simplex, como se muestra en la tabla 1.1:
C (^) j =⇒ 15 12 0 0 0 CB Básica X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 Solución 0 S 1 10 10 1 0 0 100 0 S 2 30 10 0 1 0 240 0 S 3 20 40 0 0 1 320 Z (^) j − C (^) j − 15 − 12 0 0 0 0
Tabla 1.1: Tabla inicial del método simplex.
Iteracion No. 1 :
Seleccionar como variable de entrada aquella que tenga el valor más negativo en la fila de Z (^) j − C (^) j de la tabla 1.1. Siendo este valor de -15, que corresponde a la variable X 1.
Seleccionar como variable de salida, la que tenga el menor cociente al dividir en la tabla 1.1.
240 30 ,^
320 20
{10, 8, 16} = 8, que corresponde a la variable S 2.
La intersección de la variable de entrada con la variable de salida se denomina pivote, a este elemento se convierte en uno y el resto de la columna en ceros. Para lo cual la fila de S 2 de la tabla 1.1 se multiplica por 301 y el resultado del cálculo se obtiene en la tabla 1.2. Para hacer ceros al resto de elementos de la columna de X 1 , se multiplica a la fila de X 1 de la tabla 1.2 y se suma a las filas de la tabla 1.1, respectivamente: por 15 y se suma a la fila de Z (^) j − C (^) j , por -10 y se suma a la fila de S 1 y por último por -20 y se suma a la fila de S 3.
C (^) j =⇒ 15 12 0 0 0 CB Básica X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 Solución 0 S (^1 0) 20/3 1 -1/3 0 20 15 X 1 1 1/3 0 1/30 0 8 0 S 3 0 100/3 0 -2/3 1 160 Z (^) j − C (^) j 0 -7 0 1/2 0 120
Tabla 1.2: Tabla después de realizar la iteración No. 1.
Iteracion No. 2 :
Seleccionar como variable de entrada aquella que tenga el valor más negativo en la fila de Z (^) j − C (^) j de la tabla 1.2. Siendo este valor de -7, que corresponde a la variable X 2.
Seleccionar como variable de salida, la que tenga el menor cociente al dividir en la tabla 1.2.
8 1/3 ,^
160 100/
= 3, que corresponde a S 1.
Para formar el vector unitario de la variable de entrada X 2 , a la fila de S 1 de la tabla 1.2 se multiplica
Solución = X B = B −^1 b =
Multiplicadores simplex = C TB B −^1 =
Función objetivo = Z = C TB B −^1 b =
Matriz inversa por coeficientes tecnológicos = B−^1 a (^) j =
Prueba de optimalidad = Z j − C (^) j = C (^) BT B −^1 a (^) j − C (^) j =
Esta última propiedad es la más utilizada en la solución de problemas de PL y de PM.
Debido a que las restricciones de la forma mayor o igual o de la forma igual, no proporcionan una so- lución factible básica inicial, se requiere agregar variables artificiales que no tienen significado real en el problema; su única función es permitir una solución inicial conveniente. En los problemas de maxi- mización a las variables artificiales se les debe asignar coeficientes en la función objetivo de - M y a los problemas de minimización se les debe asignar coeficientes de + M , en donde se supone que M es un número muy grande, por eso se le dice de penalización.
En la tabla 1.5 se presentan los criterios para la variable de entrada, la variable de salida y para la prueba de optimalidad de un problema de programación lineal y programación por metas.
Objetivo Variable de salida Variable de entrada El problema es óptimo si Maximización Menor cociente La más negativa Z (^) j − C (^) j ≥ 0 Minimización Menor cociente La más positiva Z (^) j − C (^) j ≤ 0
Tabla 1.5: Criterios para la variable de etrada y variable de salida para resolver problemas de PL y PM.
Ejemplo 1.2 Una compañía produce tres tipos se productos químicos refinados: X , Y y Z. Es necesario producir diariamente al menos 4 toneladas de X , 2 toneladas de Y y 1 tonelada de Z. Los productos de entrada son los compuestos A y B. Cada tonelada de A proporciona 14 de tonelada de X , 14 de tonelada de Y y 121 de tonelada de Z. Cada tonelada de B proporciona 12 de tonelada de X , 101 de tonelada de Y y 18 de tonelada de Z. La tonelada del compuesto A cuesta $25 y del compuesto B $40. El problema consiste en determinar la mezcla con costo mínimo de entrada.
Planteamiento del problema:
X 1 = No. de toneladas del compuesto A. X 2 = No. de toneladas del compuesto B.
Minimizar Z = 25 X 1 + 40 X 2 Sujeto a: 1 4 X^1 +^
1 1 2 X^2 ≥^4 4 X^1 +^
1 1 10 X^2 ≥^2 12 X^1 +^
1 8 X^2 ≥^1 X 1 , X 2 ≥ 0
Solución del problema:
Escribir el problema en su forma estándar, agregando variables de exceso y variables artificiales:
Minimizar Z = 25 X 1 + 40 X 2 + 0 S 1 + 0 S 2 + 0 S 3 + M A 1 + M A 2 + M A 3 Sujeto a: 1 4 X^1 +^
1 1 2 X^2 −^ S^1 +^ A^1 =^4 4 X^1 +^
1 1 10 X^2 −^ S^2 +^ A^2 =^2 12 X^1 +^
1 8 X^2 −^ S^3 +^ A^3 =^1 X 1 , X 2 , S 1 , S 2 , S 3 , A 1 , A 2 , A 3 ≥ 0
Construir la tabla de coeficientes, para iniciar con las iteraciones del método de la M , como se muestra en la tabla 1.6. Para facilitar los cálculos, la letra M se sustituye por un valor relativamente grande, por ejemplo M = 100.
C (^) j =⇒ 25 40 0 0 0 100 100 100 CB Básica X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 A 1 A 2 A 3 Solución 100 A 1 1/4 1/2 − 1 0 0 1 0 0 4 100 A (^2) 1/4 1/10 0 − 1 0 0 1 0 2 100 A 3 1/12 1/8 0 0 − 1 0 0 1 1 Z (^) j − C (^) j 100/3 65/2 − 100 − 100 − 100 0 0 0 700
Tabla 1.6: Tabla inicial del método de la M.
Iteracion No. 1 :
Cálculo de Z (^) j − C (^) j =
Seleccionar como variable de entrada aquella que tenga el valor más positivo en la fila de Z (^) j − C (^) j de la tabla 1.6. Siendo este valor de 100/3, que corresponde a la variable X 1.
Seleccionar como variable de salida, la que tenga el menor cociente al dividir en la tabla 1.6.
2 1/4 ,^
1 1/
{16, 8, 12} =^ 8, que corresponde a la variable^ A 2. Después de aplicar la eliminación de Gauss, los resulta- dos se muestran en la tabla 1.7.
Iteracion No. 2 :
El cálculo de Z (^) j − C (^) j se puede realizar directamente en la tabla 1.7, aplicando la propiedad de la tabla
{1/8, 3/2} = 1/8, que corresponde a la variable A 1. Después de aplicar la eliminación de Gauss, los resul- tados se muestran en la tabla 1.10.
C (^) j =⇒ 25 40 0 0 0 100 100 100 CB Básica X 1 X 2 S 1 S 2 S 3 A 1 A 2 A 3 Solución 0 S 3 0 0 -11/48 -5/48 1 11/48 5/48 -1 1/ 25 X 1 1 0 1 -5 0 -1 5 0 6 40 X 2 0 1 -5/2 5/2 0 5/2 -5/2 0 5 Z (^) j − C (^) j 0 0 -75 -25 0 -25 -75 -100 350
Tabla 1.10: Solución óptima del ejemplo 1.2.
En la tabla 1.10 todos los valores Z (^) j − C (^) j , son menores o iguales a cero por lo tanto se ha llegado a la solución óptima: X 1 = 6 toneladas del compuesto A , X 2 = 5 toneladas del compuesto B y costo total mínimo de Z = $350. S 3 = 1/8 de tonelada a producir en exceso del producto Z. Para obtener los valores de los multiplicadores simplex C (^) BT B −^1 , al resultado obtenido en la tabla 1.10, sumar el valor de ( M asignado a cada uno de los elementos, quedando de la siguiente manera: C TB B −^1 = − 25 + 100 − 75 + 100 − 100 + 100
Para resolver un problema de programación lineal en Excel, se realizan los siguientes pasos:
Paso 1. Los datos del problema se pueden introducir en cualquier rango de celdas, se sugiere introducir- los como se muestra en la figura 1.1.
Paso 2. Introducir la función SU M AP RODUC T O como se muestra en la figura 1.1, para calcular tanto el valor de Z , como el uso de los recursos o requerimientos.
Paso 3. Si no está instalado el complemento Solver. Hacer clic en la ficha Archivo , seleccionar Opciones para abrir la ventana Opciones de Excel. Seleccionar la opción complementos. Hacer clic en el Botón de comando I r.. .. Hacer clic en la casilla de verificación Solver y hacer clic en el botón de comando Aceptar. Solver queda instalado en la ficha Datos.
Paso 4. Al seleccionar Solver en la ficha datos se abre la ventana denominada Parámetros de Solver. Se- leccionar el rango o capturar los parámetros siguientes: (Ver figura 1.2).
a ) Establecer objetivo: Se refiere al valor de Z , que se encuentra en la celda G 4. b ) Para: Seleccionar el botón de opción que corresponda, en este caso Ø m í n. c ) Cambiando las celdas de variables: Se refiere al rango de celdas en donde Solver reflejará el valor de la solución de las variables. B 5 : C 5 en este caso. d ) Sujeto a las restricciones: Hacer clic al botón Agregar , se abre una ventana en donde solicita la Referencia de celda: G 9 : G 11 en este caso. Seleccionar ≥ y solicita la Restricción: E 9 : E 11 en este caso. e ) Método de resolución: Seleccionar Simplex LP. f ) Presionar clic en el botón de comando Resolver.
Figura 1.1: Pantalla de captura de datos para Solver de Excel.
Figura 1.2: Parámetros de Solver.
Es poco probable que existan problemas con una sola meta, sin embargo es un buen principio para com- prender la programación por metas.
Ejemplo 1.3. Suponer que el gerente de la empresa Vendo Hogar fija su meta de utilidades en $210. En esta situación la variable de desviación d es igual a la cantidad por la que la meta no se alcanza o no se consigue y la variable de desviación e es igual a la cantidad por la cuál la meta se supera o se excede. En la mayoría de los problemas de PM tanto las desviaciones d como e estarán en una ecuación de metas, a lo más una de las dos variables de desviación tendrá un valor positivo en la solución, es decir deberá satisfacer la relación de d ∗ e = 0, ya que si d > 0, entonces e = 0 y viceversa; de igual manera ambas va- riables de desviación podrán tener un valor de cero. Por ejemplo en la solución del ejemplo 1, en el que X 1 = 7 y X 2 = 3 y si se plantea la ecuación de metas de utilidades como 15 X 1 + 12 X 2 + d − e = 210, entonces 15 ∗ 7 + 12 ∗ 3 = 141, por lo que la meta no se alcanza en d = 69. Si los valores de X 1 = 6 y X 2 = 10, entonces 15 ∗ 6 + 12 ∗ 10 = 210 sería exactamente igual a 210 y ambas variables de desviación serían igual a cero. Si
