Universidad Abierta para Adultos (UAPA)
1
PRESENTACION:
NOMBRE:
CARLA VIRGINIA
APELLIDO:
FELIZ SANTOS
MATRICULA:
100082153
FECHA:
18/12/2024
MATERIA:
ALGEBRA Y GEOMETRIA I
FACILITADOR:
LUIS AMPARO
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Análisis de los Postulados de Euclides y la Evolución de la Geometría - Prof. Richard Rame, Schemes and Mind Maps of Geometry
Este documento explora la historia de la geometría, desde sus inicios en las civilizaciones antiguas hasta la sistematización de euclides. Se analizan los postulados de euclides, especialmente el quinto postulado, y se discute la controversia que generó. También se examinan los términos primitivos en geometría, como punto, recta y plano, y se define la diferencia entre segmento, rayo, semirrecta, plano y semiplano. Finalmente, se analiza el enfoque de birkhoff en la geometría, que busca una formalización matemática y lógica axiomática.
Typology: Schemes and Mind Maps
2022/2023
1 / 14
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PRESENTACION:
NOMBRE:
CARLA VIRGINIA
APELLIDO:
FELIZ SANTOS
MATRICULA:
FECHA :
MATERIA :
ALGEBRA Y GEOMETRIA I
FACILITADOR:
LUIS AMPARO
INTRODUCCION:
La geometría, una de las ramas más antiguas de las matemáticas, ha sido fundamental en el desarrollo del pensamiento lógico y deductivo a lo largo de la historia. Desde sus inicios en civilizaciones antiguas como Egipto y Babilonia, donde los principios geométricos eran aplicados en la construcción y en la organización del territorio, hasta la sistematización que hizo Euclides en la antigua Grecia, la geometría ha evolucionado y se ha expandido en diversas direcciones. Euclides, con su obra Elementos , sentó las bases de la geometría clásica, construyendo un sistema basado en definiciones, axiomas y teoremas. A lo largo de los siglos, los postulados de Euclides han sido objeto de reflexión y debate, particularmente el famoso quinto postulado, que dio lugar a nuevas formas de geometría no euclidiana. El análisis de estos temas no solo recurre a los fundamentos de la geometría clásica, sino que también invita a reflexionar sobre la relación entre los términos primitivos y las estructuras más complejas dentro de la geometría. Asimismo, la crítica al enfoque de Euclides y las interpretaciones más modernas, como las propuestas por matemáticos como George David Birkhoff, muestran la importancia de una visión más abstracta y formal de la geometría. Este estudio también abarca los elementos básicos de la geometría, como puntos, rectas y planos, así como la distinción entre segmentos, rayos y semirrectas.
Parte II. ¿Describe los postulados de Euclides y cuál es la controversia del V postulados? Postulados de Euclides Euclides formuló cinco postulados fundamentales en su obra "Elementos". Estos postulados son principios básicos que Euclides consideró evidentes y de los cuales se derivan otras proposiciones. Son los siguientes:
- Postulado 1 : Es posible trazar una línea recta entre dos puntos cualesquiera.
- Postulado 2 : Es posible extender una línea recta indefinidamente en ambas direcciones.
- Postulado 3 : Se puede trazar un círculo con cualquier centro y radio.
- Postulado 4 : Todos los ángulos rectos son congruentes entre sí.
- Postulado 5 : Si una línea recta corta a dos líneas rectas de tal manera que los ángulos internos en un lado sumen menos de dos ángulos rectos, entonces esas dos líneas, si se prolongan indefinidamente, se encontrarán en ese lado. La controversia del V postulado El quinto postulado, conocido como el postulado de las paralelas , fue durante mucho tiempo motivo de controversia. Su enunciado establece que si una línea recta corta a dos líneas rectas, de manera que los ángulos internos en un lado sumen menos de dos ángulos rectos, entonces esas dos líneas se encontrarán si se prolongan indefinidamente. La dificultad estaba en que este postulado no se podía demostrar utilizando solo los otros cuatro postulados y parecía menos evidente que los demás. Durante siglos, matemáticos intentaron demostrar el quinto postulado a partir de los otros cuatro, pero no tuvieron éxito. Finalmente, en el siglo XIX, matemáticos como Gauss, Lobachevsky y Bolyai descubrieron que la negación de este postulado (es decir, que existían geometrías donde dos líneas paralelas podían no encontrarse) llevaba a la creación de nuevas geometrías no euclidianas, como la geometría hiperbólica y la elíptica. Esto cambió radicalmente la concepción de la geometría y mostró que el quinto postulado no era una verdad universal, sino que dependía del tipo de geometría que se adoptara.
Parte III. Completa correctamente las siguientes cuestionantes:
4. ¿Qué son términos primitivos? Los términos primitivos en geometría son aquellos conceptos básicos que no se definen en términos más simples. En lugar de ser definidos, estos conceptos se asumen como entendidos o intuitivos. Ejemplos de términos primitivos en geometría son "punto", "recta" y "plano". 5. ¿Qué relación hay entre ellos? Los términos primitivos están interrelacionados entre sí a través de definiciones y axiomas. Por ejemplo, el término "punto" se puede usar para definir "recta" (como una colección de puntos) y "plano" (como una colección de rectas). Estas relaciones permiten construir una jerarquía de conceptos en geometría. 6. ¿Cómo se pueden ordenar las partes? Las partes de la geometría se pueden ordenar de manera jerárquica, comenzando por los términos primitivos, luego las definiciones (que utilizan esos términos primitivos), seguidas de los axiomas o postulados, y finalmente las proposiciones o teoremas, que son los resultados demostrados a partir de estos axiomas. 7. ¿Cómo se relacionan entre sí los términos más primitivos? Los términos más primitivos están interconectados a través de las relaciones geométricas que se definen en función de ellos. Por ejemplo, un "punto" se puede ubicar en una "recta", y una "recta" puede determinar un "plano". Estos términos no se definen de manera independiente, sino que su significado se construye en relación con los demás. 8. ¿Cuál es la diferencia entre segmento, rayo, semirrecta, plano y semiplano?
- Segmento : Es la parte de una recta comprendida entre dos puntos extremos.
- Rayo : Es una parte de una recta que tiene un punto de origen y se extiende indefinidamente en una dirección.
CONCLUSION:
En conclusión, la geometría ha recorrido un largo camino desde sus orígenes prácticos hasta convertirse en una disciplina rigurosa y abstracta que sigue siendo esencial para el entendimiento de las ciencias matemáticas y físicas. Los postulados de Euclides, aunque fundamentales para la geometría clásica, abrieron la puerta a nuevas concepciones geométricas con la formulación de las geometrías no euclidianas, que ampliaron nuestra comprensión del espacio y de las propiedades geométricas. La obra de Euclides, especialmente su Elementos, sigue siendo un pilar central en la educación matemática, y las exploraciones contemporáneas, como las de Birkhoff, continúan enriqueciendo y ampliando nuestra comprensión de la geometría. El estudio de los términos primitivos, las relaciones entre ellos y la definición precisa de conceptos como segmentos, rayos, semirrectas, planos y semiplanos, son fundamentales para estructurar y comprender los sistemas geométricos. Estos términos forman la base de la geometría y permiten la construcción lógica de teoremas y proposiciones que han sido claves para el desarrollo de la matemática en general. Finalmente, el análisis de los postulados y la evolución de la geometría nos recuerda que las matemáticas son una disciplina viva, en constante desarrollo y transformación, que sigue siendo crucial para el avance del conocimiento humano.