Fourier Teoría Teoría Básica, Study notes of Mathematical Methods

Download Fourier Teoría Teoría Básica and more Study notes Mathematical Methods in PDF only on Docsity!

Matemáticas Avanzadas

Dr. Erick E. Luna Rojero

Facultad de Ingeniería

División de Ciencias Básicas

Universidad Nacional Autónoma de México

2009 (ver. 0.1)

http://basicas.fi-c.unam.mx

2

• I Variable compleja
• 1. Funciones de variable compleja y mapeos
  • Números complejos
  • El plano de Argand
  • Función Compleja
    • Polinomios
    • Función exponencial compleja
    • Función logaritmo
    • Funciones trigonométricas
  • Ejercicios
    • Ejercicios en clase
    • Tarea
• 2. Funciones analíticas y mapeos conformes
  • Límites
  • Continuidad
  • Derivada compleja
  • Ecuaciones de Cauchy-Riemann-(D’Alembert)
  • Funciones Analíticas
  • Funciones armónicas
  • Derivadas de funciones importantes
    • Función exponencial
    • Funciónes trigonométricas
    • Función logaritmo
  • Mapeo conforme
    • Mapeo isogonal
    • Algunos mapeos
    • Tarea
• 3. Integral de línea de funciones de variable compleja
  • Integral de línea compleja
    • Definición
    • Integración paramétrica
• 4. Teorema integral de Cauchy-Goursat
  • Corolarios
    • Independencia de la trayectoria
    • Antiderivada
    • Deformación
• 5. Fórmulas integrales de Cauchy
  • Fórmula integral de Cauchy
    • Derivadas de funciones analíticas
    • Extensión de la fórmula integral de Cauchy para una anillo
• ÍNDICE GENERAL
• 6. Serie Laurent y teorema del residuo
  • Series Complejas
  • Series de potencias complejas
  • Serie de Taylor compleja
  • Serie de Laurent compleja
  • Teorema del Residuo
    • Clasificación de singularidades
    • Ceros de una función
    • Residuos
    • Teorema del Residuo
    • Residuos y polos
• 7. Aplicación del análisis complejo
  • Fractales
    • Conjunto de Mandelbrot
  • Fenómenos de transporte
    • Transferencia de calor
    • Difusión molecular
• II Series de Fourier
• 8. Series de Fourier
  • Funciones períodicas y señales físicas
  • Funciones ortogonales
    • Algebra lineal
    • Funciones
    • Definición de la Serie de Fourier
    • Condiciones de Dirichlet
    • Aproximación por Fourier
    • Fourier en las discontinuidades
    • Teorema de Parseval
    • Simetrías (propiedades de paridad)
    • Derivación e Integración de Series de Fourier
    • Ejemplos
    • Función Heaviside y Delta de Dirac
    • Derivación en puntos singulares
• 9. Serie de Fourier compleja y espectro de frecuencia
  • Forma compleja de las series de Fourier
  • Espectros de frecuencia compleja
  • Contenido de potencia y teorema de Parseval
• 10.Ejercicios de Serie de Fourier
• III Transformada de Fourier
• 11.Transformada de Fourier - Deducción - Transformada de Fourier - Integral de Fourier - Espectro de frecuencia continuo - Transformadas seno y coseno de Fourier - Convolución y correlación - Ejemplos - Uso de la computadora para transformada de Laplace
• 12.Transformada Discreta de Fourier
• 13.Ejercicios de Transformada de Fourier
• IV Apéndices
  • Apéndice A: Tabla de transformada de Fourier
  • Apéndice B: Tabla de transformada seno de Fourier
  • Apéndice C: Tabla de transformada coseno de Fourier
  • Apéndice D: Referencias Bibliográficas
• ÍNDICE GENERAL

Parte I

Variable compleja

10

Capítulo 1

Funciones de variable compleja y mapeos

Números complejos

Definición Si se postula a la unidad imaginaria como

i^2 = − 1

se puede definir a un número complejo como:

z = x + iy,

en donde x y y son números reales. A x se le llama parte real de z

x = Re (z)

y a y parte imaginaria de z

y = Im (z)

Igualdad: Dos números complejos z = a + ib y w = c + id cumplen que

z = w ⇔ {a = c y b = d}

Suma: La suma de dos números complejos z = a + ib y w = c + id se define como

z + w = (a + c) + i (b + d)

Multiplicación: La multiplicación de dos números complejos z = a + ib y w = c + id se define como

zw = (a + ib) (c + id) zw = (ac − bd) + i (ad + bc)

Complejo conjugado: El complejo conjuga- do de z = x+iy se denota como ¯z o z∗, y se define por ¯z = z∗^ = x − iy Módulo o magnitud: El módulo o la mag- nitud de un número complejo z = x+iy se denota como |z| y se define como

|z| =

x^2 + y^2.

Cociente: El cociente de dos números com- plejos z = a + ib y w = c + id = 0 se define como: z w

zw ww

zw |w|^2 z w

ac + db c^2 + d^2

• i bc − ad c^2 + d^2 Teorema 1 Sean z y w dos números complejo, entonces

z ¯z = |z|^2 (z + w) = z + w (zw) = zw ( (^) z w

z w Plano de Argand o complejo: Se puede representar geométricamente a un número com- plejo en un plano de Argand o complejo, Z, éste consiste en dos ejes ortogonales, el horizontal rep- resenta a la parte real del número complejo y el vertical a la parte imaginaria.

Funciones de variable compleja y mapeos 11

Esfera de Riemann

El plano de Argand

Para poder estudiar el cálculo son necesarias las definiciones que a continuación se muestran: Punto: (.) Conjunto: Una colección de puntos en el plano complejo. Vecindad: Se llama vecindad (o entorno) de radio r, de un punto z 0 , al conjunto de puntos situados en el interior de un círculo de radio r centrado en z 0 , es decir la región |z − z 0 | < r

|z − z 0 | < r

Vecindad punteada: Una vecindad punteada de z 0 es el conjunto de puntos tal que 0 < |z − z 0 | < r

0 < |z − z 0 | < r

Conjunto abierto: Un conjunto abierto es aquel en el que, para todo elemento, existe una vecin- dad cuyos puntos pertenecen al conjunto.

Conjunto abierto Ejemplo.- |z| < 1. Conjunto cerrado: Un conjunto cerrado es aquel en el que, para al menos un elemento, no existe una vecindad cuyos puntos pertenecen todos al conjunto.

Conjunto cerrado Ejemplo .- |z| ≤ 1. Conjunto conexo: Un conjunto es conexo si da- dos dos puntos cualesquiera del conjunto, existe una trayectoria formada por segmentos de recta que los une, y cuyos puntos pertenecen al conjun- to.

Conjunto conexo Dominio: Llamamos dominio a un conjunto abierto conexo. Dominio simplemente conexo: Un dominio sin agujeros. Dominio multiplemente conexo: Un dominio con agujeros.

Funciones de variable compleja y mapeos 13

Conjunto multiplemente conexo

Punto frontera: Es un punto tal que toda vecin- dad de dicho punto contiene al menos un punto que pertenece al conjunto y otro que no.

Punto interior : Es un punto tal que toda vecin- dad de dicho punto contiene puntos que pertenece al conjunto.

Punto exterior: Es un punto tal que toda vecin- dad de dicho punto no contiene puntos que pertenece al conjunto.

Región: Es la unión de un dominio y posible- mente algunos, ninguno o todos sus puntos fron- tera.

Conjunto acotado: Un conjunto para el cual existe un círculo de radio finito que circunscribe al conjunto.

Ejemplos de Regiones en el plano:

Ejemplos

-2 -1 0 1 2

2

1

0

x

y

x

y

Re (z) = Im (z)

|z| = 1, aquí se puede utilizar la definición de módulo,

a^2 + b^2 = 1, esto es, a^2 + b^2 = 12 , una circunferencia con centro en el ori- gen y radio 1.

|z| = 1

|z − z 0 | ≤ r 0

|z − z 0 | ≤ r 0

1 < |z − 1 | ≤ 2. En la figura se muestra al círculo interno punteado, lo que significa que la región no toca a la frontera, mientras que el círculo externo es continuo, ya que la región incluye a la frontera.

1 < |z − 1 | ≤ 2

Función Compleja

Una función compleja se define como

w = {z ∈ D, w ∈ I |w = f (z) }

En donde D es el dominio de la función en el plano Z, e I es la imagen (rango o recorrido) de

14 Funciones de variable compleja y mapeos

Periodicidad de ez. Aunque la función ex- ponencial real no es periódica, la forma compleja de la exponencial presenta una comportamiento periódico, para mostrar ello tomemos

ez+2kπi^ = ex+i(y+2kπ) = ex^ (cos [y + 2kπ] + i sen [y + 2kπ]) = ex^ (cos y + i sen y) ez+2kπi^ = ez

por lo tanto la función exponencial es periódica con periódo imaginario 2 πi. Algunos valores de ez

e0+i^0 = 1 eiπ/^2 = i eiπ^ = − 1 ei^3 π/^2 = −i

Note que de la tercera igualdad eiπ^ + 1 = 0, esta igualdad contiene a los cinco números más impor- tantes en matemáticas: e, i, π, 1 y 0.

Función logaritmo

Definimos, si z = 0, al logaritmo de z como

w = log z ⇔ z = ew^ (1.2)

De la definición tenemos que

z = ew reiθ^ = eu+iv reiθ^ = eueiv

comparando

eu^ = r eu^ = |z| u = ln |z| Re w = ln |z| Re (log z) = ln |z|

y

eiv^ = eiθ v = θ + 2nπ : n = 0, ± 1 , ± 2 , ... v = arg (z) + 2nπ Im w = arg (z) + 2nπ Im (log z) = arg (z) + 2nπ

entonces

w = u + iv w = ln |z| + i (arg (z) + 2nπ) log z = ln |z| + i [arg (z) + 2nπ] (1.3)

Teorema 4 Sean z y w números complejos difer- entes de cero, r un número racional y n cualquier entero ⇒

elog(z)^ = z log (ez) = z + 2nπi log (zw) = log z + log w log

( (^) z w

= log z − log w log (zr) = r log z

Logaritmo principal: La ecuación 1.3 rep- resenta a un conjunto infinito de números com- plejos, n = 0, ± 1 , ± 2 , ..., para poder definir a una función compleja (por lo tanto univaluada) tomamos sólo al argumento principal de log z, y obtenemos el logaritmo principal de log z, que denotamos por Log (z):

Log (z) = ln |z| + iArg (z) (1.4)

Funciones trigonométricas

Definimos al seno y coseno imaginarios como:

sen (z) =

eiz^ − e−iz 2 i

cos (z) =

eiz^ + e−iz 2

además

tan (z) = sen (z) cos (z)

sec (z) =

cos (z)

csc (z) =

sen (z)

cot (z) =

cos (z) sen (z)

Propiedades

1 = sen^2 (z) + cos^2 (z) 1 + tan^2 (z) = sec^2 (z) sen (2z) = 2 sen (z) cos (z) sen (z ± w) = sen (z) cos (w) ± cos (z) sen (w) cos (z ± w) = cos (z) cos (w) ∓ sen (z) sen (w) cos (2z) = cos^2 (z) − sen^2 (z)

Periodicidad de las funciones trigonométri- cas: Las funciones seno y coseno son periódicas con periódo real 2 π, es decir:

sen (z) = sen (z + 2πn) cos (z) = cos (z + 2πn)

16 Funciones de variable compleja y mapeos

Ejercicios

Ejercicios en clase

1. Estudie la forma en que w = sin z transfor- ma a la franja y ≥ 0 , −π/ 2 ≤ x ≤ π/ 2.
2. Demuestre que la transformación w = 1/z transforma a la recta infinita Imz = 1 en un círculo en el plano w. Encuentre la ecuación del círculo.
3. Determine la imagen del arco semicircular |z| = 1, 0 ≤ argz ≤ π, bajo la transforma- ción w = z + 1/z. Sugerencia: tome z = eiθ.
4. Identificar las imágenes de cos z de las rec- tas paralelas al eje real.
5. Determine la imagen de la banda 1 ≤ y ≤ 2 en el plano z bajo la transformación w = z^2.

Tarea

1. Demuestre que

(z 1 − z 2 ) = z¯ 1 − ¯z 2 (z 1 z 2 ) = z¯ 1 z¯ 2 ( z 1 z 2

z¯ 1 z ¯ 2

2. Sea n un número entero n ≥ 0. Encuentre el módulo de ( x + iy x − iy

)n

3. Encuentre la forma a + ib de un número complejo con r = 2 y θ = 3.
4. Escriba a las siguientes expresiones en la forma a + ib

i^1 /^2 (1 − i)^1 /^2

5. Describa con una relación matemática, a los puntos que pertenecen a la circunferencia y al interior del círculo de radio 2 y centro en 3 + 4i, excepto en el centro del círculo.
6. Escriba a las siguientes funciones en la for- ma u + iv :

(z − i)^2 (¯z)−^2 + i

7. Escriba en términos de z y z¯ a:

w = − 2 xy + i

x^2 − y^2

w = x^2 + y^2

8. Determinar todos los valores tales que eiz^ =
9. Si cos z = 2 obtener cos 2z.
10. Emplee logaritmos para resolver z en:

(ez^ − 1)^2 = ez ez^ = e^2 z

11. Estudie la forma en que el conjunto Re (z) = Im (z) se transforma mediante w = sin (z).
12. Estudie la forma en que w = ez^ transforma a la región 0 ≤ y ≤ π/ 2 y 0 ≤ x ≤ 1
13. Determine la imagen de |z| = 1, bajo la transformación w = z^2 + 2 + 1/z^2.
14. Identificar las imágenes de w = z + z^2 de las rectas paralelas al eje real.

Funciones de variable compleja y mapeos 17

Capítulo 2

Funciones analíticas y mapeos conformes

Límites

Sean una función compleja f (z) y una con- stante compleja L. Si para todo número real ǫ > 0 existe un número real δ > 0 tal que

|f (z) − L| < ǫ

para todo z tal que

0 < |z − z 0 | < δ

entonces decimos que

l´ım z→z 0 f (z) = L,

es decir, que f (z) tiene límite L cuando z tiende a z 0.

Límite complejo

Es fácil notar que la definición de límite real y límite complejo son muy similares, sin embar- go, existen diferencias entre ellas. Para ilustrar lo anterior recuerde que en el caso real si los límites por la izquierda y por la derecha existen y son

iguales, entonces el límite existe. Por otro lado, en el caso complejo, no hay sólo dos direcciones, sino un número infinito de trayectorias por las cuales z tiende a z 0 , y para que el límite exista, todos estos límites deberán existir y ser iguales.

Teorema 5 Suponga que

l´ım z→z 0 f (z) y l´ım z→z 0 g (z) existen ⇒

l´ım z→z 0 [f (z) + g (z)] = l´ım z→z 0 f (z) + l´ım z→z 0 g (z)

l´ım z→z 0 [αf (z)] = α l´ım z→z 0 f (z) : ∀α

l´ım z→z 0 [f (z) · g (z)] = l´ım z→z 0 f (z) · l´ım z→z 0 g (z)

l´ım z→z 0

[

f (z) g (z)

]

l´ımz→z 0 f (z) l´ımz→z 0 g (z)

si l´ım z→z 0 g (z) = 0

Ejemplo Analice al siguiente límite

l´ım z→ 0 f (z) = l´ım z→ 0

[

x^2 + x x + y

• i y^2 + y x + y

]

tomemos dos trayectorias, la primera a lo largo del eje y acercándose por arriba, sobre esta trayec- toria x = 0 y el límite

l´ım z→ 0 f (z) = l´ım y→ 0

[

i

y^2 + y y

]

= l´ım y→ 0 [i (y + 1)] = i

la segunda a lo largo del eje x acercándose por la derecha, sobre esta trayectoria y = 0 y el límite.

Funciones analíticas y mapeos conformes 19

l´ım z→ 0 f (z) = l´ım x→ 0

[

x^2 + x x

]

= l´ım x→ 0 [x + 1] = 1

como los límites por diferentes trayectorias son diferentes el límite no existe.

El límite no existe

Continuidad

Decimos que una función w = f (z) es conti- nua en z = z 0 si se satisfacen las dos condiciones siguientes:

1. f (z 0 ) está definido
2. l´ımz→z 0 f (z) ∃, y l´ımz→z 0 f (z) = f (z 0 )

Teorema 6 Sean f (z) y g (z) continuas en z 0 , entonces en z 0

f (z) ± g (z) , f (z) g (z) , f [g (z)] y |f (z)|

son continuas y f (z) g (z)

es continua si g (z 0 ) = 0, además si f (z) = u (x, y) + iv (x, y), entonces

u (x, y) y v (x, y)

son continuas.

Ejemplo Estudie la continuidad en z = i de la función

f (z) =

{ (^) z (^2) + z−i z^ =^ i 3 i z = i

Primero se analiza si f (z 0 ) existe, para este problema f (i) = 3i, lo que sigue es encontrar el límite

l´ım z→i

z^2 + 1 z − i

= l´ım z→i

z^2 − i^2 z − i

= l´ım z→i

(z + i) (z − i) z − i = l´ım z→i

(z + i) = 2 i

aunque el límite existe tenemos que, ( l´ım z→i

z^2 + 1 z − i

= 2i

 = (f (i) = 3i)

por lo tanto no es continua.

Derivada compleja

Dada una función de variable compleja f (z), la derivada en z 0 , se define como:

f ′^ (z 0 ) =

df dz

z 0

= l´ım ∆z→ 0

f (z 0 + ∆z) − f (z 0 ) ∆z

= l´ım z→z 0

f (z) − f (z 0 ) z − z 0

siempre y cuando el límite exista. La definición anterior es muy similar al caso real, sin embargo, se debe tener cuidado ya que el límite comple- jo, es más complicado de obtener. El problema de la existencia de la derivada se estudiará más adelante.

Teorema 7 Si f y g son funciones derivables en z 0 ⇒

(f + g)′^ = f ′^ + g′ (αf )′^ = αf′ (f · g)′^ = f g′^ + f ′g ( f g

gf′^ − f g′ g^2

: g = 0

df [g (z)] dz

df dg

dg dz

Ejemplo

20 Funciones analíticas y mapeos conformes