60710491 elementos de astronomia de posicion, Study notes of Chemistry

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Elementos de

Astronom´ıa de Posici´on

Jos´e Gregorio Portilla Barbosa

• Jos´e Gregorio Portilla B.

El profesor Portilla actualmente es Profesor Asociado de Dedicaci´on Exclusiva adscrito al Observatorio Astron´omico Nacional de la Facultad de Ciencias de la Universidad Nacional de Colombia. Dicta regular- mente las c´atedras de Astronom´ıa General I, Mec´anica Celeste e Introducci´on a la Coheter´ıa y Astron´autica que se ofrecen a los estudiantes de pregrado y posgrado en la mencionada instituci´on. Su campo de inves- tigaci´on se dirige hacia la mec´anica celeste, en particular sobre el movimiento de sat´elites, estabilidad de ´orbitas, m´etodos de integraci´on y mec´anica celeste relativista.

Presente edici´on: mayo de 2001

©c2001, Observatorio Astron´omico Nacional

Internet: http://www.observatorio.unal.edu.co/miembros/docentes/grek/grek.html Correo-e: gportill@ciencias.unal.edu.co

No se permite la reproducci´on total o parcial de esta obra, ni su incorporaci´on a un sistema in- form´atico, ni su transmisi´on en cualquier forma o por cualquier medio, sea ´este electr´onico, mec´anico, por fotocopia, por grabaci´on u otros m´etodos, sin el permiso previo y por escrito del autor.

Dise˜no y diagramaci´on en LATEX: Jos´e Gregorio Portilla B. Dise˜no de car´atula: Martha Chac´on Chac´on y M. Arturo Izquierdo Pe˜na. Car´atula: Concepci´on art´ıstica del paso de la nave Viajero II por el planeta J´upiter. ISSN: 0120- Impreso en Colombia Universidad Nacional de Colombia, Bogot´a

A mis padres:

Mar´ıa Teresa y

Jos´e Gregorio

Prefacio

Este libro constituye en su mayor´ıa las notas ordenadas, ampliadas y actualizadas de parte de los cursos de Astronom´ıa General I, Mec´anica Celeste e Introducci´on a la Coheter´ıa y Astron´autica que el autor ha tenido la oportunidad de dictar en varias ocasiones en la sede acad´emica del Observatorio Astron´omico Nacional. Pretende ser una exposici´on sencilla, clara y no demasiado t´ecnica de diversos t´opicos de la astronom´ıa esf´erica y la mec´anica celeste, pero procurando conservar cierto nivel de profundizaci´on necesario para abordar una ciencia que, como la astronom´ıa, depende enteramente de la medida y del c´alculo. Exceptuando tal vez los cap´ıtulos 12 al 15, el libro est´a enteramente al alcance de una persona que haya completado un bachillerato a conciencia. En una ´epoca clave para el desarrollo de la astronom´ıa en nuestro pa´ıs, con la conforma- ci´on de la RAC (Red Astron´omica Colombiana), la aparici´on y consolidaci´on de grupos y asociaciones de aficionados a lo ancho y largo del territorio nacional y el surgimiento, en el segundo semestre de 1999, de la Especializaci´on en Astronom´ıa en la Universidad Nacional de Colombia sede Bogot´a, es de esperarse un avance significativo de la astronom´ıa criolla en los a˜nos venideros. El autor estar´ıa plenamente satisfecho si esta obra contribuye en un infinit´esimo a dicho desarrollo. El autor agradece el apoyo de cada uno de los profesores que conforman el personal do- cente del Observatorio Astron´omico Nacional. En particular debo mencionar a tres de ellos: el profesor Eduardo Brieva, quien ley´o la totalidad del texto y realiz´o importantes y muy valiosas sugerencias; el profesor Fernando Otero, quien ley´o algunos de los cap´ıtulos e hizo significativas recomendaciones y el profesor Arturo Izquierdo, quien no s´olo me colabor´o con su profundo dominio de muchos programas en Linux sino tambi´en ayud´o en la elaboraci´on de la car´atula. Mi agradecimiento tambi´en se extiende a los monitores del Observatorio Germ´an Mon- toya y Daniel Izquierdo quienes estuvieron atentos a resolver las dudas que tuvo el autor con el manejo del sistema operativo Linux, el procesador de palabra cient´ıfico LATEX y varios programas graficadores; a Martha Chac´on Chac´on por su dise˜no de car´atula, y a los muchos estudiantes de pregrado de la Universidad y en particular de los de la Especializaci´on en Astronom´ıa sin quienes mucho del contenido de este libro estar´ıa oscuro e impenetrable. A todos, mi agradecimiento m´as profundo.

Jos´e Gregorio Portilla B. Profesor, Observatorio Astron´omico Nacional Bogot´a, MMI

• 1 INTRODUCCI ´ON Indice General
  • 1.1 La astronom´ıa
    • 1.1.1 Objeto de estudio
  • 1.2 La astronom´ıa esf´erica y din´amica
  • 1.3 La astronom´ıa y la astrolog´ıa
• 2 TRIGONOMETR´IA ESF´ERICA
  • 2.1 Relaciones fundamentales
• 3 EL PLANETA TIERRA
  • 3.1 Forma de la Tierra
  • 3.2 Coordenadas de un observador en la superficie de la Tierra
    • 3.2.1 Coordenadas geoc´entricas
    • 3.2.2 Coordenadas geod´esicas
    • 3.2.3 Coordenadas geogr´aficas (astron´omicas)
  • 3.3 Unidades de longitud y su relaci´on con las dimensiones terrestres
  • 3.4 Transformaci´on entre latitudes
• 4 LA B ´OVEDA CELESTE
  • 4.1 Conceptos fundamentales
  • 4.2 Observaci´on del cielo seg´un la latitud
  • 4.3 La ecl´ıptica
  • 4.4 Estaciones
  • 4.5 Constelaciones
  • 4.6 Nombres de estrellas y designaciones
  • 4.7 Cat´alogos de estrellas
• 5 COORDENADAS CELESTES
  • 5.1 Coordenadas horizontales
  • 5.2 Coordenadas ecuatoriales horarias
  • 5.3 Coordenadas ecuatoriales (ecuatoriales absolutas)
  • 5.4 Coordenadas ecl´ıpticas
  • 5.5 Coordenadas gal´acticas
  • 5.6 Transformaci´on entre los sistemas de coordenadas
    • 5.6.1 De horizontales a ecuatoriales horarias y viceversa
    • 5.6.2 Ecuatoriales horarias a ecuatoriales absolutas y viceversa
    • 5.6.3 Ecuatoriales absolutas a ecl´ıpticas y viceversa
    • 5.6.4 Ecuatoriales absolutas a gal´acticas y viceversa
• 6 MOVIMIENTO APARENTE DE LOS CUERPOS CELESTES
  • 6.1 Movimiento diurno
  • 6.2 La Luna y el Sol
  • 6.3 Los planetas
    • 6.3.1 Per´ıodo sin´odico
• 7 EL TIEMPO EN ASTRONOM´IA
  • 7.1 El d´ıa
    • 7.1.1 El d´ıa sideral
    • 7.1.2 El d´ıa solar verdadero
    • 7.1.3 El d´ıa solar medio
  • 7.2 Conversi´on entre tiempo sideral y tiempo solar medio
  • 7.3 El tiempo sideral local
  • 7.4 El tiempo solar verdadero
  • 7.5 El tiempo solar medio
  • 7.6 El tiempo universal
  • 7.7 Husos horarios
  • 7.8 La ecuaci´on del tiempo
  • 7.9 El c´alculo del tiempo sideral local
    • 7.9.1 El c´alculo de la fecha juliana
    • 7.9.2 El c´alculo del TSG0
  • 7.10 Sistemas de tiempo
    • 7.10.1 Variaciones en la tasa de rotaci´on terrestre
    • 7.10.2 El tiempo de las efem´erides (TE)
    • 7.10.3 El tiempo din´amico
  • 7.11 El tiempo at´omico
  • 7.12 Tiempos universales
• 8 C ´ALCULO DE ALGUNOS FEN ´OMENOS ASTRON ´OMICOS
  • 8.1 Culminaci´on de cuerpos celestes
  • 8.2 Salida y puesta de un astro
    • 8.2.1 Una primera aproximaci´on
    • 8.2.2 Refinando el c´alculo
    • 8.2.3 El c´alculo especial del Sol y la Luna
  • 8.3 Paso por el meridiano del observador
  • 8.4 Paso por el cenit del observador
  • 8.5 Navegaci´on astron´omica
• 9 CALENDARIO
  • 9.1 El calendario romano primitivo
  • 9.2 El calendario juliano
  • 9.3 Calendario y cristianismo
  • 9.4 El calendario gregoriano
  • 9.5 Cronolog´ıa
  • 9.6 La determinaci´on de la fecha de Pascua
    • 9.6.1 Letra dominical
    • 9.6.2 N´umero ´aureo
    • 9.6.3 La Epacta
    • 9.6.4 Otros ciclos
    • 9.6.5 C´alculo de la fecha de Pascua
  • 9.7 Calendario colombiano
• 10 CORRECCI ´ON A LAS COORDENADAS
  • 10.1 Precesi´on
  • 10.2 Nutaci´on
  • 10.3 Aberraci´on
    • 10.3.1 Aberraci´on estelar
    • 10.3.2 Aberraci´on planetaria
  • 10.4 Movimiento en el espacio
  • 10.5 Paralaje
    • 10.5.1 Paralaje diurno
    • 10.5.2 Paralaje anual
  • 10.6 Refracci´on astron´omica
  • 10.7 Deflecci´on gravitacional de la luz
• 11 MEC ´ANICA CELESTE: UNA INTRODUCCI ´ON
  • 11.1 Estado de las cosas en la antig¨uedad
  • 11.2 Kepler y sus leyes
    • 11.2.1 La elipse
    • 11.2.2 Areas y ´´ angulos
    • 11.2.3 Per´ıodos y distancias
  • 11.3 El formalismo Newtoniano
    • 11.3.1 Ley de atracci´on newtoniana
    • 11.3.2 La funci´on potencial
• 12 EL PROBLEMA DE LOS DOS CUERPOS
  • 12.1 Movimiento con respecto al centro de masas
  • 12.2 El movimiento relativo
    • 12.2.1 Aceleraciones
  • 12.3 Elecci´on de un sistema de coordenadas
  • 12.4 El momentum angular
  • 12.5 Momentum angular cero: la ´orbita rectil´ınea 12.4.1 Areas y tiempos: otra vez la segunda ley de Kepler 237´
  • 12.6 Momentum angular diferente de cero: trayectorias c´onicas
    • 12.6.1 C´onicas
  • 12.7 La energ´ıa total
  • 12.8 C´alculos de masa: otra vez la tercera ley de Kepler
  • 12.9 Velocidades
  • 12.10El c´alculo de la anomal´ıa verdadera
    • 12.10.1 Orbita el´´ ıptica
    • 12.10.2 Orbita hiperb´´ olica
    • 12.10.3 Orbita parab´´ olica
• 13 LA DETERMINACI ´ON DE LA POSICI ´ON EN EL ESPACIO - 13.0.4 Elementos orbitales - 13.0.5 Posici´on en el espacio
  • 13.1 Velocidad en el espacio
  • 13.2 La posici´on con respecto a la Tierra
  • 13.3 Las coordenadas topoc´entricas
• 14 PERTURBACIONES
  • 14.1 Modelo vs. realidad
  • 14.2 El problema de los tres cuerpos
    • 14.2.1 El problema restringido circular de los tres cuerpos
  • 14.3 El problema de los n cuerpos
  • 14.4 Perturbaciones al problema de los dos cuerpos
    • 14.4.1 Presencia de un tercer cuerpo, o de m´as cuerpos
    • 14.4.2 No esfericidad del cuerpo central
    • 14.4.3 Perturbaci´on por rozamiento atmosf´erico
    • 14.4.4 Perturbaci´on por presi´on de radiaci´on
    • 14.4.5 Perturbaci´on por eyecci´on de masa
    • 14.4.6 Perturbaci´on por curvatura del espacio-tiempo
    • 14.4.7 El efecto Poynting-Robertson
    • 14.4.8 El efecto Yarkovsky
    • 14.4.9 Resistencia por part´ıculas cargadas
  • 14.5 Resolviendo las ecuaciones
    • 14.5.1 La integraci´on num´erica
    • 14.5.2 Teor´ıa de perturbaciones
• 15 SAT´ELITES ARTIFICIALES Y COHETES
  • 15.1 Una teor´ıa sencilla del sat´elite artificial
  • 15.2 El sat´elite Tierra-sincr´onico
  • 15.3 El sat´elite Sol-sincr´onico
  • 15.4 El sat´elite geoestacionario
  • 15.5 El sat´elite Molniya
  • 15.6 Orbitas de transferencia´
    • 15.6.1 Transferencia tipo Hohmann
    • 15.6.2 Cambio de inclinaci´on
  • 15.7 Cohetes
  • 15.8 La ecuaci´on de Tsiolkovsky
  • 15.9 Las condiciones de inyecci´on y la ´orbita inicial
• A Constantes astron´omicas
  • A.1 Unidades
  • A.2 Sistema de Constantes Astron´omicas de la U.A.I. (1976)
• B Posiciones geogr´aficas de algunas ciudades colombianas
• C Cuerpos del sistema solar
  • C.1 Datos f´ısicos de los planetas (I)
  • C.2 Datos f´ısicos de los planetas (II)
    • y equinoccio de J2000.0 C.3 Elementos orbitales osculatrices helioc´entricos referidos a la ecl´ıptica media
  • C.4 Datos del Sol
  • C.5 Datos de la Luna
  • C.6 Algunos asteroides
  • C.7 Algunos cometas
• D Refracci´on astron´omica a nivel del mar
• E Estrellas
  • E.1 Las estrellas m´as cercanas al Sol
  • E.2 Las estrellas m´as brillantes
• F Fecha Juliana
• G Calendario
  • G.1 Descansos remunerados
  • G.2 Fechas de Pascua para algunos a˜nos
  • G.3 Calendario Perpetuo

16 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON´

como telescopios y c´amaras fotogr´aficas se logr´o obtener por un lado, una visi´on m´as com- pleta y extraordinaria de todos aquellos cuerpos conocidos hasta entonces y, por otro, se descubrieron objetos y estructuras que hab´ıan pasado desapercibidas hasta entonces senci- llamente por la limitaci´on de nuestros sentidos.

La astronom´ıa busca dar respuestas a la curiosidad innata del hombre por comprender lo que lo rodea desde el punto de vista c´osmico. Hombres curiosos, animados por motivos teol´ogicos, filos´oficos, o de otra clase, han dedicado sus vidas a la observaci´on, medida y comprensi´on de los cuerpos celestes. Muchos de ellos han legado sus observaciones, fruto de sus pacientes observaciones y medidas hechas en el transcurso de muchos a˜nos, para que los que vienen detr´as de ellos, m´as instruidos y con una experiencia ya heredada, intenten completar el panorama y contin´uen con ese anhelo de exploraci´on y entendimiento.

El astr´onomo estudia el cielo de una manera sistem´atica y formal. Sus preguntas son del siguiente tenor:¿Cu´ando ser´a el pr´oximo eclipse de Sol? ¿A qu´e horas exactamente saldr´a el Sol para un d´ıa y lugar determinado? ¿Por qu´e los planetas describen trayectorias aparentes tan complicadas? ¿Qu´e tan antiguo es el Sol? ¿Qu´e composici´on qu´ımica tiene la Luna? ¿A qu´e distancia est´an las estrellas? ¿Por qu´e brillan ´estas? ¿Qu´e tan antiguo es el universo?

Las respuestas a algunas de estas preguntas han costado mucho trabajo y dedicaci´on a hombres de ciencia en el transcurso de muchos siglos. Algunas de ellas todav´ıa no tienen una explicaci´on que podamos llamar satisfactoria, pero en el mundo entero miles de astr´onomos continuan desarrollando t´ecnicas observacionales e instrumentales, creando y optimizando nuevos m´etodos anal´ıticos y computacionales con el fin de seguir desentra˜nando los profun- dos misterios e interrogantes que a´un encierra el universo.

La astronom´ıa es actualmente una ciencia supremamente extensa que cubre tan vastos campos de inter´es que se ha hecho necesario dividirla en ramas o especializaciones. Para la persona de la calle el astr´onomo es aquel sujeto que se dedica meramente a la observaci´on del cielo. Pero en la realidad es mucho m´as que eso. El astr´onomo, para los c´anones actuales, es un profesional altamente preparado con s´olidos conocimientos en matem´aticas, f´ısica, qu´ımica, biolog´ıa, geolog´ıa, computaci´on, etc. Dependiendo de su area de inter´es tendr´a mayor preparaci´on en algunas de esas ciencias m´as que en otras. Aquellos que se dedican por ejemplo al estudio de las propiedades de los agujeros negros son profesionales con una formaci´on muy s´olida en matem´aticas y f´ısica, pues sus herramienta de trabajo son la geometr´ıa diferencial, la teor´ıa de la relatividad general y la mec´anica cu´antica. Aquellos dedicados a la b´usqueda del origen y formaci´on de la Luna necesitan conocimientos muy profundos de geolog´ıa, qu´ımica y mec´anica celeste. Y as´ı ocurre con todas las dem´as ramas en las que se ha subdividido la astronom´ıa.

1.2 La astronom´ıa esf´erica y din´amica

Este libro trata espec´ıficamente de dos ramas de la astronom´ıa que est´an intimamente rela- cionadas entre s´ı. La astronom´ıa esf´erica estudia la manera de como es posible relacionar las direcciones cambiantes de los cuerpos celestes con sus posiciones sobre la superficie de la

1.3. LA ASTRONOM´IA Y LA ASTROLOG´IA 17

denominada esfera celeste. La astronom´ıa din´amica estudia todas aquellas explicaciones de orden fisicomatem´atico que tratan de dar cuenta del movimiento de los cuerpos celestes bajo la influencia de sus mutuas atracciones gravitacionales, aunque no se descartan otro tipo de fuerzas. La astronom´ıa esf´erica requiere el dominio b´asico de la trigonometr´ıa esf´erica; la astronom´ıa din´amica requiere el manejo de la mec´anica newtoniana, y en casos especiales y rigurosos, de la teor´ıa de la relatividad general. En un contexto m´as amplio, la astronom´ıa esf´erica y la astronom´ıa din´amica forman juntas lo que se conoce como astronom´ıa de posi- ci´on^1.

1.3 La astronom´ıa y la astrolog´ıa

Es muy raro el texto de astronom´ıa que se atreva a dedicar si quiera unas l´ıneas dirigidas a dejar en claro la diferencia que existe entre la astronom´ıa y la astrolog´ıa. Sin embargo, el auge que cobran cada vez m´as las pr´acticas adivinatorias y ocultistas entre la poblaci´on, aun entre personas que se precian de ser ilustradas, amerita, a modo de responsabilidad con la sociedad, hacer las siguientes apreciaciones.

Son muchas las personas en nuestra sociedad que piensan que la astronom´ıa y la astrolog´ıa son una misma cosa. La realidad es que son dos actividades completa y radicalmente dife- rentes. La astrolog´ıa parte del supuesto de que los astros (el Sol, la Luna y los planetas) y la posici´on aparente de ´estos en relaci´on con las estrellas, tienen una influencia marcada y directa en el destino y el car´acter de las personas, grupos humanos e incluso naciones enteras.

Sin embargo, hoy por hoy, con el avance portentoso de la ciencia y la tecnolog´ıa, la astrolog´ıa es vista, por lo medios intelectuales y cient´ıficos, como una simple pr´actica adivi- natoria, a la misma altura de la quiromancia y otras actividades similares. Los creyentes y adeptos de la astrolog´ıa insisten en que su destino, su suerte (o la carencia de ella), sus gustos e instintos dependen y est´an determinados por la ubicaci´on relativa de los cuerpos celestes en instantes cruciales de su existencia, particularmente en el momento de su nacimiento. La astrolog´ıa, a diferencia de la astronom´ıa, no busca explicar el universo. En su trabajo diario y para el desempe˜no de su labor, al astr´ologo lo tiene sin cuidado la constituci´on de las estrellas; no pretende conocer el origen y la evoluci´on del universo, le es indiferente el estudio formal y excitante de la naturaleza del cosmos. Sus conocimientos en matem´aticas, f´ısica y qu´ımica son por lo tanto limitados, pues no es su intenci´on desentra˜nar los misterios del cosmos por lo que no requiere todas esas herramientas que son imprescindibles para el astr´onomo. Eso s´ı, le interesa conocer las efem´erides (las posiciones de los planetas con respecto a las estrellas) para alguna fecha dada, no con la exactitud y precisi´on que requiere el astr´onomo, despreocup´andose por el hecho de que ´estos utilizan en sus c´alculos la teor´ıa de la relatividad general (el funcionamiento, la estabilidad y el poder determinista de las

(^1) No hay un consenso general sobre esta definici´on. En algunas referencias la astronom´ıa de posici´on se entiende como un sin´onimo de astrometr´ıa, esto es, aquella rama de la astronom´ıa que se ocupa de las medidas de las posiciones de los cuerpos celestes en el cielo, en particular en lo que tiene que ver con los conceptos y m´etodos observacionales involucrados en la realizaci´on de las medidas.

1.3. LA ASTRONOM´IA Y LA ASTROLOG´IA 19

• Sagan C. (1994) Cosmos, Planeta, Bogot´a. Inmejorable libro de divulgaci´on astron´omica, ampliamente ilustrado, con diversad de t´opicos sobre la historia y proyecci´on del pensamiento cient´ıfico.
• Sagan, C. (1984) El cerebro de Broca, Grijalbo, M´exico. Una descripci´on autorizada sobre diversos t´opicos astron´omicos con algunos matices sobre la aplicaci´on del m´etodo cient´ıfico.
• Sagan, C. (1997), El mundo y sus demonios, Planeta, Bogot´a. Un libro que llama la atenci´on sobre la necesidad de cultivar una visi´on esc´eptica del universo y de los peligros que entra˜na la difusi´on de pr´acticas ocultistas y seudociencias en nuestro mundo civilizado.
• Senior, J.E. (1996) Epistemolog´ıa y divulgaci´on de la astronom´ıa, en Memorias del segundo encuentro nacional de astronom´ıa, Universidad Tecnol´ogica de Pereira. Excelente ensayo epistemol´ogico que plantea estrategias para la difusi´on de la astronom´ıa y en general del pensamiento racional en nuestro pa´ıs.
• http://www.wsanford.com/~wsanford/exo/zodiac.htm Se encuentran varios comentarios referentes a la diferencia entre astronom´ıa y astrolog´ıa.
• http://www.voicenet.com/~eric/astrology.htm En esta hoja electr´onica se encuentran multitud de consideraciones en contra de la astrolog´ıa con gran cantidad de enlaces y bibliograf´ıa.

20 CAP´ITULO 1. INTRODUCCI ON´